Задание 11.17

Question

$\DeclareMathOperator{	g}{tg}$
Докажите, что число $T$ является периодом функции $f$:
$$1) \quad f(x) = \cos \frac{x}{4}, T = 8\pi; \qquad 2)\quad f(x) = tg	ext{ }3x, T = -\frac{2\pi}{3}.$$

Gimli · Accepted Answer

\begin{enumerate}
\item По определению, функция периодическая, если
$$\bbox[10px,border:3px solid blue]{f(x) = f(x + T)}$$
Поэтому, высказывание, которое нам надо доказать, следующее:
$$\cos \frac{x}{4} = \cos \frac{x + 8\pi}{4}$$
Так как $$\cos \frac{x + 8\pi}{4} = \cos(\frac{x}{4} + 2\pi) = \cos\frac{x}{4},$$
то высказывание правда, что и требовалось доказать. $\blacksquare$
\item Докажем таким же образом, что и в пункте 1.
$$f(x + T) =  	g (3(x - \frac{2\pi}{3})) = 	g(3x - 6\pi) = 	g 3x = f(x),$$
что и требовалось доказать. $\blacksquare$
\end{enumerate}

Задание 11.17

Answers

Comments

Задание 11.17

Answers

Comments

Add answer