Задание 19.12

Задание такого типа мы решали когда делали задание 19.4. Там мы рассматривали оба способа решения данной задачи.
Если посмотрите на задание 19.4, то увидите, что один из способов состоится в нахождении производной и подставлении туда значения $x_0.$

1.

Чтобы найти производную функции $f(x)=x\sqrt{x}$, легче всего представить $f(x)$ как степенная функция: $$f(x)=x\sqrt{x}=x^1\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{1+\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}}$$

Теперь, нам будет легко найти производную:

$$f^{\prime }(x)={\left(x^{\frac{3}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\cdot \sqrt{x}.$$

Теперь, подставив значение $x_0$ в формулу $f^{\prime }(x)$, получаем:

$$f^{\prime }(x_0)=\frac{3}{2}\cdot \sqrt{81}=\frac{3}{2}\cdot 9=13,5.$$

Ответ: $13,5.$

2.

Опять же, представим $f(x)$ как степенная функция: $$f(x)=x^3\cdot \sqrt[4]{x}=x^3\cdot x^{\frac{1}{4}}=x^{3\frac{1}{4}}=x^{\frac{13}{4}}.$$

Теперь, воспользовавшись формулой производной функции ${(x^r)}^{\prime }=r{x}^{r-1}$, получаем:

$$f^{\prime }(x)={\left(x^{\frac{13}{4}}\right)}^{\prime }=\frac{13}{4}\cdot x^{\frac{9}{4}}.$$

Теперь, подставив значение $x_0$ в формулу $f^{\prime }(x)$, получаем:

$$f^{\prime }(x_0)=\frac{13}{4}\cdot 1^{\frac{9}{4}}=\frac{13}{4}=3\frac{1}{4}.$$

Ответ: $3\frac{1}{4}.$

3.

Решаем анологичным способом: сначала представляем функцию $f(x)$ как степенную. Мы будем использовать также то, что в первом пункте мы получили что $x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}:$ $$f(x)=\sqrt{x^{\frac{3}{2}}}={\left(x^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{4}}$$

Теперь, воспользовавшись формулой производной функции ${(x^r)}^{\prime }=r{x}^{r-1}$, получаем:

$${\left(x^{\frac{3}{4}}\right)}^{\prime }=\frac{3}{4}\cdot x^{-\frac{1}{4}}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{\sqrt[4]{x}}=\frac{3}{4\sqrt[4]{x}}.$$

Теперь, подставив значение $x_0$ в формулу $f^{\prime }(x)$, получаем:

$$f^{\prime }(x_0)=\frac{3}{4\sqrt[4]{16}}=\frac{3}{4\cdot 2}=\frac{3}{8}.$$

Ответ: $\frac{3}{8}.$

4.

Решаем анологичным способом: сначала представляем функцию $f(x)$ как степенную. $$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt[6]{x}}=\frac{x^2}{x^{\frac{1}{6}}}=x^{1\frac{5}{6}}=x^{\frac{11}{6}}$$

Теперь, воспользовавшись формулой производной функции ${(x^r)}^{\prime }=r{x}^{r-1}$, получаем:

$$f^{\prime }(x)={\left(x^{\frac{11}{6}}\right)}^{\prime }\frac{11}{6}{x}^{\frac{11}{6}-1}=\frac{11}{6}{x}^{\frac{5}{6}}=\frac{11}{6}\sqrt[6]{x^5}.$$

Подставив значение $x_0$ в формулу $f^{\prime }(x)$, получаем:

$$\frac{11}{6}\sqrt[6]{64^5}=\frac{11}{6}\sqrt[6]{{(2^6)}^5}=\frac{11}{6}\sqrt[6]{{(2^5)}^6}=\frac{11}{6}\sqrt[6]{32^6}=\frac{11}{6}\cdot 32=\frac{176}{3}.$$

Ответ: $\frac{176}{3}.$