Задание 19.13

Как и в задании 19.12, мы будем находить производную функции, а затем подставлять туда значение $x_0.$ Как и в других заданиях, мы для нахождения производной степенной функции будем использовать следующую формулу:

1.

Чтобы найти производную функции $f(x)=x\sqrt[4]{x}$, легче всего представить $f(x)$ как степенную функцию: $$f(x)=x\sqrt[4]{x}=x^1\cdot x^{\frac{1}{4}}=x^{1+\frac{1}{4}}=x^{\frac{5}{4}}$$

Теперь, нам будет легко найти производную:

$$f^{\prime }(x)={\left(x^{\frac{5}{4}}\right)}^{\prime }=\frac{5}{4}\cdot x^{\frac{1}{4}}=\frac{5}{4}\cdot \sqrt[4]{x}.$$

Теперь, подставив значение $x_0$ в формулу $f^{\prime }(x)$, получаем:

$$f^{\prime }(x_0)=\frac{5}{4}\cdot \sqrt[4]{256}=\frac{5}{4}\cdot 4=5.$$

Ответ: $5.$

2.

Чтобы найти производную функции $f(x)=\sqrt[8]{x\sqrt{x}}$, легче всего представить $f(x)$ как степенную функцию. Мы будем использовать также то, что в задании 19.12, пункте 3 мы показали, что $\sqrt{x\sqrt{x}}=x^{\frac{3}{4}}.$ $$f(x)=\sqrt[8]{x\sqrt{x}}=\sqrt[4]{\sqrt{x\sqrt{x}}}=\sqrt[4]{x^{\frac{3}{4}}}={\left(x^{\frac{3}{4}}\right)}^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{3}{16}}.$$

Теперь, нам будет легко найти производную:

$$f^{\prime }(x)={\left(x^{\frac{3}{16}}\right)}^{\prime }=\frac{3}{16}{x}^{-\frac{13}{16}}$$

Так как $x_0=1$, то

$$f^{\prime }(x_0)=\frac{3}{16}\cdot 1=\frac{3}{16}.$$

Ответ: $\frac{3}{16}.$