Задание 19.4

1.

$$f(x)=\sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x,x_0=\frac{\pi }{6}$$

a.

$$\mathrm{\Delta }f=f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)=\sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-\sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x_0=2\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(\frac{x_0+\mathrm{\Delta }x+x_0}{2}\right)\cdot$$

$$\cdot \sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(\frac{x_0+\mathrm{\Delta }x-x_0}{2}\right)=2\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(\frac{2x_0+\mathrm{\Delta }x}{2}\right)\cdot \sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\frac{\mathrm{\Delta }x}{2}$$

b.

$$\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{2\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(\frac{2x_0+\mathrm{\Delta }x}{2}\right)\cdot \sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\frac{\mathrm{\Delta }x}{2}}{\mathrm{\Delta }x}$$

c.$$ Если $\mathrm{\Delta }x\to 0,$ то $\sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\frac{\mathrm{\Delta }x}{2}\approx \sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\frac{0}{2}=\sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->0=0\approx \frac{\mathrm{\Delta }x}{2}$, а по определению производной $f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}:$

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}\frac{\frac{\mathrm{\Delta }x}{2}\cdot \cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(\frac{2x_0+\mathrm{\Delta }x}{2}\right)}{\frac{\mathrm{\Delta }x}{2}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(x_0+\frac{\mathrm{\Delta }x}{2}\right)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x_0=\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x_0=\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

2.

$$f(x)=x^{-2},x_0=-2$$

a.

$$\mathrm{\Delta }f=f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f(x_0)={(x_0+\mathrm{\Delta }x)}^{-2}-{x_0}^{-2}.$$

b.

$$\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{{(x_0+\mathrm{\Delta }x)}^{-2}-{x_0}^{-2}}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\frac{1}{{(x_0+\mathrm{\Delta }x)}^2}-\frac{1}{x_0^2}}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{x_0^2-{(x_0+\mathrm{\Delta }x)}^2}{{(x_0+\mathrm{\Delta }x)}^2\cdot x_0^2\cdot \mathrm{\Delta }x}=\frac{x_0^2-x_0^2-2x_0\mathrm{\Delta }x-\mathrm{\Delta }{x}^2}{{(x_0+\mathrm{\Delta }x)}^2\cdot x_0^2\cdot \mathrm{\Delta }x}$$

Сократив с обеих сторон $\mathrm{\Delta }x$, получаем:

$$\frac{-2x_0-\mathrm{\Delta }x}{(x_0^2+2x_0\mathrm{\Delta }x+\mathrm{\Delta }{x}^2)\cdot x_0^2}=\frac{-2x_0-\mathrm{\Delta }x}{{(x_0^2+x_0\mathrm{\Delta }x)}^2}.$$

c.$$ Если $\mathrm{\Delta }x\to 0,$ то

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}\frac{-2x_0-\mathrm{\Delta }x}{{(x_0^2+x_0\mathrm{\Delta }x)}^2}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}\frac{-2x_0}{x_0^4}=\frac{-2}{x_0^3}=-\frac{2}{-8}=\frac{1}{4}$$

Есть также второй способ решить данное задание - сначало найти формулу производной этой функции, затем же туда подставить значение $x_0$. Это способ значительно проще.

1.

Из таблиц производных, $$f(x)=\sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\Rightarrow f^{\prime }(x)=\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x.$$

Следовательно,

$$f^{\prime }(x_0)=\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

2.

По формуле производных степенной функции, $${(x^r)}^{\prime }=r{x}^{r-1},r\in \mathbb{Q}.$$

Получаем:

$$f^{\prime }(x)={(x^{-2})}^{\prime }=-2x^{-3}=\frac{-2}{x^3}$$

Подставляем значение $x_0$:

$$f^{\prime }(x_0)=\frac{-2}{-8}=\frac{1}{4}.$$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{4}.$