Задание 19.6

Так как данные функции - степенные, то для решения этого задания мы будем использовать следующую формулу:

1.

Т.к. $\sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{4}},$ то $$y^{\prime }={\left(x^{\frac{1}{4}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}$$

На этом результате можно остановиться. Однако, желательно провести дальнейшие вычисления:

$$\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}=\frac{1}{4x^{\frac{3}{4}}}=\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}.$$

Ответ: $\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}.$

2.

Т.к. $\sqrt[8]{x^7}=x^{\frac{7}{8}},$ то $$y^{\prime }={\left(x^{\frac{7}{8}}\right)}^{\prime }=\frac{7}{8}{x}^{-\frac{1}{8}}=\frac{7}{8}\cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{8}}}=\frac{7}{8}\cdot \frac{1}{\sqrt[8]{x}}=\frac{7}{8\sqrt[8]{x}}.$$

Ответ: $\frac{7}{8\sqrt[8]{x}}.$

3.

Т.к. $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}$, то $$y^{\prime }={\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^3}}=-\frac{1}{2\sqrt{x^3}}.$$

Ответ: $-\frac{1}{2\sqrt{x^3}}.$

4.

Т.к. $\frac{1}{\sqrt[8]{x^5}}=\frac{1}{x^{\frac{5}{8}}}=x^{-\frac{5}{8}},$ то $$y^{\prime }={\left(x^{-\frac{5}{8}}\right)}^{\prime }=-\frac{5}{8}{x}^{-\frac{13}{8}}=-\frac{5}{8}\cdot \frac{1}{x^{\frac{13}{8}}}=-\frac{5}{8x^{\frac{13}{8}}}=-\frac{5}{8\sqrt[8]{x^{13}}}.$$

Ответ: $-\frac{5}{8\sqrt[8]{x^{13}}}.$