Задание 19.8

Question

Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_{0}$ :
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^{3}, x_{0}=-1$
\item $f(x)=\sqrt{x}, x_{0}=4$
\item $f(x)=\frac{1}{x^{2}}, x_{0}=2$
\item $f(x)=\sin x, x_{0}=0$.
\end{enumerate}

Gimli · Accepted Answer

Поскольку угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = x_0$ равен значению производной этой функции $y = f(x)$ при $х = x_0$, нам необходимо найти производную этой функции. Для нахождения производной степенных функций мы будем использовать следующую формулу:
$$\bbox[10px, border:2px solid red]{\left(x^right)^{\prime} = rx^{r-1},}$$
а для других функций будем использовать данные из таблиц.
\begin{enumerate}
\item $$f^{\prime}(x) = \left(x^3ight)^{\prime} = 3x^2\Longrightarrow f^{\prime}(x_0) =3x_0^2 = 3\cdot 1 = 3.$$
	extbf{Ответ: }$3.$
\item $$f^{\prime}(x) = \left(x^{\frac{1}{2}}ight)^{\prime} = \frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$
Теперь подставляем значение $x_0$:
$$f^{\prime}(x_0) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{4}} = \frac{1}{2\cdot 2} = \frac{1}{4}$$
	extbf{Ответ: }$\frac{1}{4}.$
\item $$f^{\prime}(x) = \left(\frac{1}{x^2}ight)^{\prime} = (x^{-2})^{\prime} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$$
Теперь подставляем значение $x_0$:
$$f^{\prime}(x_0) = -\frac{2}{2^3} = -\frac{1}{4}.$$
	extbf{Ответ: }$-\frac{1}{4}.$
\item По табличным данным,
$$f^{\prime}(x) = \cos x.$$
Теперь подставляем значение $x_0$:
$$f^{\prime}(x_0) =\cos 0 = 1$$
	extbf{Ответ: }$1.$
\end{enumerate}

Задание 19.8

Answers

Comments

Задание 19.8

Answers

Comments

Add answer