Задание 19.9

1.

$f(x)=x^4,x_0=-2$ $$f^{\prime }(x)={\left(x^4\right)}^{\prime }=4x^3\Rightarrow f^{\prime }\left(x_0\right)=4{(-2)}^3=-32$$

2.

$f(x)=\sqrt[3]{x},x_0=27$ $$f^{\prime }(x)={(\sqrt[3]{x})}^{\prime }={\left(x^{\prime }\right)}^{\prime }=\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}\Rightarrow$$

$$f^{\prime }\left(x_0\right)=\frac{1}{3}\cdot 27^{-\frac{2}{3}}=\frac{1^3}{3}\cdot \frac{1}{27^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt[3]{27^2}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt[3]{3^6}}=$$

$$=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{27}.$$

3.

$f(x)=\frac{1}{x^3};x_0=-3$ $$f^{\prime }(x)={\left(\frac{1}{x^3}\right)}^{\prime }={\left(x^{-3}\right)}^{\prime }=-3x^{-4}$$

$$f^{\prime }\left(x_0\right)=-3\cdot {(-3)}^{-4}={(-3)}^{-3}=\frac{1}{{(-3)}^3}=-\frac{1}{27}$$

4.

$f(x)=\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x;x_0=-\frac{\pi }{2}$ $$f^{\prime }(x)=-\sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\Rightarrow f^{\prime }\left(x_0\right)=-\sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(-\frac{\pi }{2}\right)=\sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\frac{\pi }{2}=1$$

Примечание. В заданиях такого типа, когда нужно найти угловой коэффициент касательной, нужно вначале найти производную функции, поскольку угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой равен значению производной этой функции $y=f(x)$ при $x=x_0$.