Задание 22.3

Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
1) f(x) = 1 4x4 −1 3x3 − 7;
2) f(x) = 3x+5 2−x
3) f(x) = x2 + 2 x;
4) f(x) = x + 9 x;
5) f(x) = x2−3 x+2 ;
6) f(x) = x x2−9.

Answers

1.
f′(x) = (1 4x4 −1 3x3 − 7)′ = (1 4x4) ′− (1 3x3) ′ = 1 4 (x4) ′−1 3 (x3) ′ =

1 4 ⋅ 4x3 −1 3 ⋅ 3x2 = x3 − x2.

Возрастает:

f′(x) > 0 ⇔ x3 − x2 > 0 ⇔ x2(x − 1) > 0 ⇔ x ∈ [1;+∞)

Убывает:

x ∈ (−∞;1]

2.
f′(x) = (3x + 5 2 − x )′ = (3x + 5)′(2 − x) − (3x + 5)(2 − x)′ (2 − x)2 = 3(2 − x) − (−(3x + 5)) (2 − x)2 =

= 6 − 3x + 3x + 5 (2 − x)2 = 11 (2 − x)2

Эта функция всегда возрастает, так как производная этой функции всегда больше 0 (11 > 0,(2 − x)2 > 0). Учитывая также область определения функции, получаем:
Ответ: функция возрастает на промежутках x ∈ (−∞;2) ∪ (2;+∞); эта функция нигде не убывает.

3.
f′(x) = (x2 + 2 x )′ = 2x −2 x = 2(x −1 x)

Функция возрастает при

2(x −1 x) > 0 ⇔ x −1 x > 0 ⇔ x > 1 x ⇔ x ∈ (1;+∞)

Значит, функция убывает при x ∈ (−∞;0) ∪ (0;1).(0 не включается в этот промежуток из-за области определения).
Ответ: функция возрастает при x > 2 и убывает при x < 2.

4.
f′(x) = (x + 9 x )′ = x′ + (9 x )′ = 1 + (9 ⋅ x−1) ′ = 1 + 9 ⋅ (−1 x2 ) = 1 − 9 x2

Функция возрастает при

1−9 x2 > 0 ⇔ 9 x2 < 1 ⇔ 1 x2 < 1 9 ⇔ 1 < 1 9x2 ⇔ 9 < x2 ⇔ x ∈ (−∞;−3]∪[3;+∞)

Значит, функция убывает при x ∈ [−3;0) ∪ (0;3]
Ответ: функция возрастает при x ∈ (−∞;−3] ∪ [3;+∞) и убывает при x ∈ [−3;0) ∪ (0;3]

5.
User profile picture
2021-12-09 17:08
Comments