Задание 22.4

Question

22.4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
ewline
1) $f(x)=9+4 x^{3}-x^{4}$;
ewline
2) $f(x)=\frac{2 x-9}{x-5} ;$
ewline
3) $f(x)=\frac{x^{2}+5 x}{x-4}$.

Gimli · Accepted Answer

\begin{enumerate}
\item $$f^{\prime}(x)=\left(9+4 x^{3}-x^{4}ight)^{\prime}=4 \cdot 3 x^{2}-4 x^{3}=12 x^{2}-4 x^{3}$$
	extit{Возрастает: }$$f^{\prime}(x) >0 \Rightarrow 12 x^{2}-4 x^{3} > 0$$
$$3 x^{2}-x^{3} >0$$ $$x^{2}(3-x) >0$$ $$ x^{2}(x-3) < 0$$
$$x \in(-\infty ; 3].$$
	extit{Убывает}: $x \in[3 ;+\infty)$
\item $$f(x)=\left(\frac{2 x-9}{x-5}ight)^{\prime}=\frac{(2 x-9)^{\prime}(x-5)-(x-5)^{\prime}(2 x-9)}{(x-5)^{2}}=$$
$$=\frac{2(x-5)-2 x+9}{(x-5)^{2}}=\frac{2 x-10-2 x+9}{(x-5)^{2}}=-\frac{1}{(x-5)^{2}}$$
	extit{Возрастает}: $$f^{\prime}(x) > 0 \Leftrightarrow-\frac{1}{(x-5)^{2}} >0$$
$$x=\{\varnothing\}$$
	extit{Убывает:} $x=(-\infty ; 5) \cup(5,+\infty)$
\item $$f^{\prime}(x)=\left(\frac{x^{2}+5 x}{x-y}ight)^{\prime}=\frac{\left(x^{2}+5 xight)^{\prime}(x-4)-(x-4)^{\prime}\left(x^{2}+5 xight)}{(x-y)^{2}}=$$
$$=\frac{(2 x+5)(x-4)-x^{2}-5 x}{(x-4)^{2}}=\frac{2 x^{2}+5 x-8 x-20-x^{2}-5 x}{(x-4)^{2}}=$$
$$=\frac{x^{2}-8 x-20}{(x-4)^{2}}.$$
Возрастает: $$f^{\prime}(x) >0\Rightarrow \frac{x^{2}-8 x-20}{(x-4)^{2}} >0$$
$$\left.\begin{array}{l}x^{2}-8 x-20=0 \ D=64+80=12^{2} \ x_{1}=\frac{8+12}{2}=10 ; \quad x_{2}=\frac{-4}{2}=-2\end{array}ight\} \Rightarrow \begin{aligned} x^{2}-8 x-20=& \ &=(x-10)(x+2) \end{aligned}$$
$$\frac{(x-10)(x+2)}{(x - 4)^2} >0 \Leftrightarrow(x-10)(x+1)(x-4)^{2} > 0\Leftrightarrow x \in(-\infty,-2] \cup(10 ;+\infty)$$
Убывает: $x \in[-2 ; 10)$
\end{enumerate}

Задание 22.4

Answers

Comments

Задание 22.4

Answers

Comments

Add answer