Задание 24.1

Легко удостовериться, что каждая из вышеуказанных функций $f$ дифференциируема по всей области определения. Это значит, что в каждом случае мы можем применить Теорему 23.2 и Теорему 23.3 и эквивалентно найти нули производной $f^{\prime }$ незабывая сравнивать их со значениями функции по границе области определения.

1.

Производная функции $f(x)=3x^2-x^3$ на $[-1,3]$ равна: $$f^{\prime }(x)=6x-3x^2.$$

Нули производной $f^{\prime }$ равны:

$$\begin{array}{c}6x-3x^2=0\hfill \\ x(6-3x)=0\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{cc}{x}_1=0\hfill & 6=3x_2\hfill \\ \hfill & x_2=2\hfill \end{array}$$

Таким образом, получаем следующих кандидатов на максимум и минимум:

$$\begin{array}{cc}f(0)=3\hfill & \hfill \\ f(2)=12-8=4\hfill & -\max <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\hfill \\ f(-1)=3+1=4\hfill & -\max <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\hfill \\ f(3)=27-27=0\hfill & -\min <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\hfill \end{array}$$

Ответ: $0;4$.

2.

Производная функции $f(x)=x^4-2x^2+5$ на $[0,2]$ равна: $$f^{\prime }(x)=4x^3-4x.$$

Нули производной $f^{\prime }$ равны:

$$\begin{array}{cc}x\left(4x^2-4\right)\hfill & =0\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{cc}{x}_1=0\hfill & 4x^2=4\hfill \\ \hfill & x_2=1,x_3=-1\hfill \end{array}$$

Таким образом, получаем следующих кандидатов на максимум и минимум:

$$\begin{array}{ccc}f(0)\hfill & =5\hfill & \hfill \\ f(1)\hfill & =4\hfill & -\min <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\hfill \\ f(2)\hfill & =16-8+5=13\hfill & -\max <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\hfill \end{array}$$

Ответ: $4;13$.

3.

Производная функции $f(x)=2x^3-9x^2-3$ на $[-1;4]$ равна: $$f^{\prime }(x)=6x^2-18x.$$

Таким образом, получаем следующих кандидатов на максимум и минимум:

$$\begin{array}{ccc}f(0)\hfill & =-3\hfill & -\max <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\hfill \\ f(3)\hfill & =5y-81-3=-30\hfill & -\min <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\hfill \\ f(-1)\hfill & =-2-9-3=-14\hfill & \hfill \\ f(9)\hfill & =128-9\cdot 16-3=-19\hfill & \hfill \end{array}$$

Ответ: $-30;-3$.

4.

Производная функции $f(x)=\frac{x^2+8}{x-1}$ на $[-3;0]$ равна: $$f^{\prime }(x)=2x.$$

Нули производной $f^{\prime }$ равны:

$$\begin{array}{cc}2\hfill & x=0\hfill \\ x\hfill & =0\hfill \end{array}$$

Таким образом, получаем следующих кандидатов на максимум и минимум:

$$\begin{array}{ccc}f(0)\hfill & =\frac{8}{-1}=-8\hfill & -\min <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\hfill \\ f(-3)\hfill & =\frac{9+8}{-4}=-\frac{17}{4}=-4\frac{1}{4}\hfill & -\max <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\hfill \end{array}$$

Ответ: $-8;-4\frac{1}{4}$.