Задание 24.6

Question

24.6.° Представьте число $18$ в виде суммы трех неотрицательных чисел таких, чтобы два из них относились как $8 : 3$, а сумма кубов этих трех чисел была наименьшей.

Gimli · Accepted Answer

\textbf{Далее даны 3 разных варианта решения задачи. \I вариант решения (подробный): }
В духе пропорции, обозначим первое число через $8x$, а второе - $3x$ (т.к по условию их соотношение равно $8:3$). Тогда очевидно, что третье число равно $(18-11x)$. Также, по условию задачи, должны выполняться условия $8x \geq 0,$ $3x \geq 0$, $18-11x \geq 0$ и $x \neq 0$, или же эквивалентно, $0 < x < \frac{18}{11}$. Таким образом, условие этого упражнения эквивалентно нахождению минимума следующей функции:
$$f:\left(0;\frac{18}{11}\right) \to \mathbb{R}, \quad f(x):=(8x)^3+(3x)^3+(18-11x)^3,$$
или же в упрощенной форме,
\begin{align*}
f(x) & =8^3 x^3+3^3 x^3-(11^3 x^3-3 \cdot 11^2 x^2  \cdot 18+3 \cdot 11x \cdot 18^2-18^3)\[2.5pt]
&=(8^3+3^3-11^3){\color{green}{x^3}}+(3 \cdot 11^2 \cdot 18){\color{green}{x^2}}-(3 \cdot 11 \cdot 18^2){\color{green}{x^1}}+(18^3){\color{green}{x^0}}.
\end{align*}
Заметьте, что это функция - многочлен, а как таковая дифференцируема по всей области определения. Это значит, что мы можем применить Теорему 23.2 и эквивалентно найти нули производной $f'$.
$$f^{\prime}(x)=3 \cdot (8^3+3^3-11^3)x^2 + 2 \cdot (3\cdot 11^2 \cdot 18)x-3\cdot 11 \cdot 18^2.$$
Чтобы найти $x$ с $f'(x)=0$, вычислим дискриминанту функции $f'$. При этом важно сократить как можно больше членов, чтобы максимально упростить выражение.
\begin{align*}
D_{f'} &= b^2-4ac\[2.5pt]
&=2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^4 \cdot 18^2 + 4\cdot 3 \cdot (8^3+3^3-11^3)\cdot 3\cdot 11 \cdot 18^2\[2.5pt]
&= 4 \cdot 3^2 \cdot 11 \cdot 18^2 \cdot (11^3+(8^3+3^3-11^3))\[2.5pt]
&= 4 \cdot 3^3 \cdot 11 \cdot 18^2 \cdot (8^3+3^3)\[2.5pt]
&= 4 \cdot 3^2 \cdot 11 \cdot 18^2 \cdot (8+3)(8^2-8 \cdot 3+3^2)\[2.5pt]
&= 4 \cdot 3^2 \cdot 11^2 \cdot 18^2 \cdot 49\[2.5pt]
&= (2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 18 \cdot 7)^2
\end{align*}
Таким образом,
\begin{align*}
x_{1,2} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{D_{f'}}}{2a}\[2.5pt]
&= \dfrac{-2\cdot 3 \cdot 11^2 \cdot 18 \pm 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 18 \cdot 7}{2 \cdot 3 \cdot (8^3+3^3-11^3)}\[2.5pt]
&= \dfrac{2\cdot 3 \cdot 11 \cdot 18 \left( -11 \pm 7\right)}{2 \cdot 3 \cdot (8^3+3^3-11^3)}\[2.5pt]
&= \dfrac{2\cdot 3 \cdot 11 \cdot 18 \left( -11 \pm 7\right)}{2 \cdot 3 \cdot (-8 \cdot 9)}\[2.5pt]
&= \dfrac{-11 \pm 7}{-4}
\end{align*}
и
$${\color{green}{x_1=\frac{-4}{-4}=1}}, \qquad {\color{red}{x_2=\frac{-18}{-4}=4,5.}}$$
Отбрасываем второе решение, т.к оно не входит в область определения $f$.
$$f(0) = 18^3 = 5832$$
$$f(1) = 8^3 + 3^3 + 7^3 = 882$$
$$f\left(\frac{18}{11}\right) \approx 2362$$
$f(1)$ - минимум функции. Значит, $x = 1$. Найдем значения искомых чисел: первое число равно: $8\cdot x = 8$, второе $3\cdot x= 3$ и третье $18-11x=7$.\newline
\textbf{Ответ: 18=8+3+7}
\begin{figure}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{f.png}
\caption{График функции $f$.}
\end{figure}
\textbf{`2-ой вариант решения (самый простой): }\
Пусть первое число - $8x$, второе - $3x$,(т.к по условию их соотношение равно $8:3$). Тогда  третье число равно $(18-11x)$. Также, по условию задачи, должны выполняться условия $8x \geq 0,$ $3x \geq 0$, $18-11x \geq 0$ и $x \neq 0$, т.е.  $0 < x < \frac{18}{11}$. Таким образом, нам нужно найти минимум следующей функции:
$$ f(x):=(8x)^3+(3x)^3+(18-11x)^3,$$
$$f(x)=512x^3+27x^3+(18-11x)^3.$$
Надо найти её производную и приравнять к нулю.
$$f^\prime(x)=512x^2+27x^2-11(18-11x)^2$$
$$512x^2+27x^2-11*(18-11x)^2=0$$
$$539x^2-11*(18-11x)^2=0$$
$$11(49x^2-(18-11x)^2)=0$$
$$49x^2=(18-11x)^2.$$
\begin{align*}
7x=18-11x; \qquad &-7x=18-11x\
18x=18;    \qquad & 4x=18\
x_{1 }=1;       \qquad & x_{2 }=4,5
\end{align*}
Отбрасываем второе значение х, т.к оно не входит в область определения $f$. Найдем значения искомых чисел:  первое число равно: $8\cdot x = 8$, второе $3\cdot x= 3$ и третье $18-11x=7$.\newline
\textbf{Ответ: 18=8+3+7}\
\textbf{ 3-ий вариант решения: }\

Пусть первое число $x$, тогда второе: (т.к. по условию два числа относятся как 8:3)\
$$
\begin{aligned}
& {y}:{x}={8}:{3}  \
& y=\frac{8 x}{3} ; \
\end{aligned}
$$
Тогда третье число: (по условию сумма трех чисел равна 18)\
$$
\begin{aligned}
& x+y+z=18 \ 
& z=18-x-y\
& z=18-x-\frac{8 x}{3}=18-\frac{11 x}{3} ;
\end{aligned}
$$

Нам понадобится найти минимум следующей функции:
$$
f(x)=x^3+y^3+z^3=x^3+\left(\frac{8 x}{3}\right)^3+\left(18-\frac{11 x}{3}\right)^3
$$
Производная этой функции равна:
$$
\begin{aligned}
& f^{\prime}(x)=\left(x^3\right)^{\prime}+\left(\frac{8 x}{3}\right)^{3^{\prime}}+\left(18-\frac{11 x}{3}\right)^{3^{\prime}} \
& =3 x^2+\frac{8}{3} \cdot 3\left(\frac{8 x}{3}\right)^2-\frac{11}{3} \cdot 3\left(18-\frac{11 x}{3}\right)^2 \
& =3 x^2+8 \cdot \frac{64 x^2}{9}-11 \cdot\left(324-132 x+\frac{121 x^2}{9}\right) \
& =3 x^2+\frac{512 x^2}{9}-3564+1452 x-\frac{1331 x^2}{9} \
& =1452 x-3564-88 x^2=-44\left(2 x^2-33 x+81\right)
\end{aligned}
$$

Чтобы найти $x$ с $f'(x)=0$, вычислим дискриминанту функции $f'$. 
$$
\begin{aligned}
&-44\left(2 x^2-33 x+81\right)=0\
& 2 x^2-33 x+81 = 0 \
& D=33^2-4 \cdot 2 \cdot 81=1089-648=441=21^2 \
& x_1=\frac{33-21}{2 \cdot 2}=\frac{12}{4}=3 \
& x_2=\frac{33+21}{2 \cdot 2}=\frac{54}{4}=13,5 \

\end{aligned}
$$
Теперь найдем значения искомых чисел  х; y; z: (по условию сумма кубов должна быть наименьшей)
$$
\begin{aligned}
& x_{\min }=3 ; \
& y=8 ; \
& z=18-11=7 ;
\end{aligned}
$$

Ответ: $18=3+8+7$

Задание 24.6

Answers

Comments

Задание 24.6

Answers

Comments

Add answer