Задание 7.10

Question

Решите уравнение, используя метод замены переменной:
ewline
$$1)\quad \sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{x^2} - 3 = 0; \qquad 4) \quad2\sqrt{x + 1} - 5 = \frac{3}{\sqrt{x + 1}};$$
$$2)\quad \sqrt{x} + \sqrt[4]{x} - 6 = 0; \qquad 5) \frac{1}{\sqrt[4]{x} - 1} + \frac{3}{\sqrt[4]{x} + 1} = 2;$$ $$3) \quad 2x - 7\sqrt{x} - 15 = 0; \qquad 6) \quad \sqrt{\frac{x + 5}{x - 1}} + 7\sqrt{\frac{x-1}{x + 5}} = 8.$$

Gimli · Accepted Answer

\begin{enumerate}
\item $$\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{x^2} - 3 = 0$$
Сделаем замену $\sqrt[3]{x}$ на $t$:
\begin{equation}
t + 2t^2 - 3 = 0
\end{equation}
\begin{equation}
2t^2 + t - 3 = 0
\end{equation}
$$D = b^2 - 4ac = 1 + 24 = 25 = 5^2$$
$$t_1 = \frac{-1 + 5}{4} = 1; \quad t_2 = \frac{-1 - 5}{4} = -1\frac{1}{2}$$
Используя значения $t$, найдём значения $x$:
\begin{itemize}
\item $t = 1$
$$\sqrt[3]{x} = 1$$
$$\underline{x = 1}$$
\item $t = -1\frac{1}{2}$
$$\sqrt[3]{x} = -1\frac{1}{2}$$
$$x = -\frac{27}{8}$$
\end{itemize}
После проверки выясняется, что  оба числа удовлетворяют условию. Значит
ewline
	extbf{Ответ: $x = \{1; -\frac{27}{8}\}$.}
\item $$\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} - 6 = 0$$
Сделаем замену $\sqrt[4]{x} = t$.
$$t^2 + t - 6 = 0$$
$$D = b^2 - 4ac = 1 + 24 = 25 = 5^2$$
$$t_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2; \quad t_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3$$
$t$ не может быть меньше нуля, $\Longrightarrow$ $t = 2$. Значит, $x = 16$.
ewline
	extbf{Ответ: $x = 16$.} 
\item $$2x - 7\sqrt{x} - 15 = 0$$
Сделаем замену $\sqrt{x} = t$:
$$2t^2 - 7t - 15 = 0$$
$$D = b^2 - 4ac = 49 + 120 = 169 = 13^2$$
$$t_1 = \frac{7 + 13}{4} = 5; \qquad t_2 = \frac{7 - 13}{4} = -1\frac{1}{2}$$
Так как $t > 0$, то $t
eq -1\frac{1}{2}$. Значит, $t = 5 \Longrightarrow x = 25$.
ewline
	extbf{Ответ: $x = 25$}
\item $$2\sqrt{x + 1} - 5 = \frac{3}{\sqrt{x + 1}}$$
Сделаем замену $\sqrt{x + 1} = t$:
$$2t - 5 = \frac{3}{t} \left|\begin{array}{rcl}{	imes t}\end{array}ight.$$
$$2t^2 - 5t = 3$$
$$2t^2 - 5t - 3 = 0$$
$$D = b^2 - 4ac = 25 + 24 = 49 = 7^2$$
$$t_1 = \frac{5 + 7}{4} = 3; \qquad t_2 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}$$
Второе значение $t$ не удовлетворяет условию. Значит, $t_1 = 3$.
$$t = 3\Longrightarrow \sqrt{x + 1} = 3\Longrightarrow x + 1 = 9\Longrightarrow x = 8$$
	extbf{Ответ: $x = 8$.}
\item $$\frac{1}{\sqrt[4]{x} - 1} + \frac{3}{\sqrt[4]{x} + 1} = 2$$
Сделаем замену $\sqrt[4]{x} = t$:
$$\frac{1}{t - 1} + \frac{3}{t + 1} = 2$$
$$\frac{t + 1}{t^2 - 1} + \frac{3t - 3}{t^2 - 1} = 2$$
$$\frac{4t - 2}{t^2 - 1} = 2$$
$$4t - 2 = 2t^2 - 2$$
$$2t^2  - 4t = 0$$
$$t^2 - 2t  = 0$$
$$t(t - 2) = 0$$
$$t  =  \{0; 2\}$$
Оба значения удовлетворяют условию. Отсюда
ewline
	extbf{Ответ: $x  =  \{0; 16\}$}
\item $$\sqrt{\frac{x + 5}{x - 1}} + 7\sqrt{\frac{x-1}{x + 5}} = 8.$$
Сделаем замену $\sqrt{\frac{x + 5}{x - 1}} = t$:
\begin{equation}
t + \frac{7}{t} = 8
\end{equation}
\begin{equation}
t^2 + 7 = 8t
\end{equation}
\begin{equation}
t^2 - 8t + 7 = 0
\end{equation}
$$D = b^2 - 4ac = 64 - 28 = 36 = 6^2$$
$$t_1 = \frac{8 + 6}{2} = 7; \qquad t_2 = \frac{8 - 6}{2} = 1. \iff$$
$$ \left[\begin{array}{rcl}{t = 7}\{t = 1}\end{array}ight.\iff  \left[\begin{array}{rcl}{\sqrt{\frac{x + 5}{x - 1}} = 7}\{\sqrt{\frac{x + 5}{x - 1}} = 1}\end{array}ight. \iff \left[\begin{array}{rcl}{\frac{x + 5}{x - 1} = 49}\{\frac{x + 5}{x - 1} = 1}\end{array}ight. \iff  \left[\begin{array}{rcl}{x + 5 = 49x - 49}\{x + 5 = x - 1}\end{array}ight. \iff \left[\begin{array}{rc1}{54 = 48x}\{x = \{\varnothing\}}\end{array}ight. \iff \left[\begin{array}{rc1}{x = 1\frac{1}{8}}\{x = \{\varnothing\}}\end{array}ight.$$
	extbf{Ответ: $x = 1\frac{1}{8}$}
\end{enumerate}

Задание 7.10

Answers

Comments

Задание 7.10

Answers

Comments

Add answer