Задание 7.4

Мы будем решать данные уравнения возведением обеих сторон в какую-либо степень.

1.

$$\sqrt[7]{2x-1}=\sqrt[7]{3-x}$$

Возведём обе стороны в седьмую степень:

$$2x-1=3-x$$

$$3x=4$$

$$\underline{x=1\frac{1}{3}}$$

Ответ: $x=1\frac{1}{3}$

2.

$$\sqrt{2x-1}=\sqrt{1-2x}$$

Возведём обе стороны в квадрат:

$$2x-1=1-2x$$

$$4x=2$$

$$\underline{x=0.5}$$

Так как обе стороны возводились в квадрат, необходимо сделать проверку: $\sqrt{2\cdot 0.5-1}=\sqrt{1-2\cdot 0.5}=0$, всё верно.
Ответ: $x=0.5$

3.

$$\sqrt{2x-1}=\sqrt{x-3}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$2x-1=x-3$$

$$x=-2$$

Так как мы возводили обе части во 2ю степень, то необходимо сделать проверку: $\sqrt{-4-1}=\sqrt{-2-3}$. Так как под корнем получается отрицательное число, то уравнение не имеет решений. То есть:

$$\underline{x=\{\varnothing \}}$$

Ответ: уравнение не имеет решений.

4.

$$\sqrt{x^2-36}=\sqrt{2x-1}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$x^2-36=2x-1$$

$$x^2-2x-35=0$$

$$D=b^2-4\mathit{ac}=4+140=144=12^2$$

$$x_1=\frac{2+12}{2}=7;$$

$$x_2=\frac{2-12}{2}=-5.$$

Так как мы возводили в чётную степень, то необходимо сделать проверку:
$(1)\sqrt{49-36}=\sqrt{14-1}=\sqrt{13}$ - для $x=7$ высказывание верно;
$(2)\sqrt{25-36}=\sqrt{-10-1}$ - так как
под корнем в этот раз находится отрицательное число, то $x=-5$ не подходит.
Ответ: $x=7$.