Задание 7.6

Question

Решите уравнение:
\begin{enumerate}
\item $\sqrt{2 - x} = x$;
\item $\sqrt{x + 1} = x - 1$;
\item $\sqrt{3x - 2} = x$;
\item $\sqrt{2x^2 - 3x - 10} = x$;
\item $2\sqrt{x + 5} = x + 2$;
\item $\sqrt{15 - 3x} - 1 = x$.
\end{enumerate}

Gimli · Accepted Answer

\begin{enumerate}
\item $$\sqrt{2 - x} = x$$
Возведём в квадрат обе стороны:
$$2 - x = x^2$$
$$x^2 + x - 2 = 0$$
$$D = b^2 - 4ac = 1 + 8 = 9 = 3^2$$
$$x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$
$$x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$$
Так как $x$ равен корню квадратному какого-либо числа, то $x > 0, \Rightarrow x
eq -2$. Значит
ewline
	extbf{Ответ: $x = 1$.}
\item $$\sqrt{x + 1} = x - 1$$
Возведём в квадрат обе стороны:
$$x + 1 = x^2 - 2x + 1$$
$$x^2 - 3x = 0$$
$$x(x - 3) = 0$$
$$x = \{0; 3\}$$
При $x = 0$ под корнем оказывается отрицательное число, а при $x = 3$ всё просто отлично.
ewline
	extbf{Ответ: $x = 3$}
\item $$\sqrt{3x - 2} = x$$
Возведём в квадрат обе стороны:
$$3x - 2 = x^2$$
$$x^2 - 3x +2 = 0$$
$$D = b^2 - 4ac = 9 - 8 = 1$$
$$x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2$$
$$x_2 = 1$$
После проверки выясняется, что оба корня удовлетворяют условию. Значит 
ewline
	extbf{Ответ: $x = \{1; 2\}$}
\item $$\sqrt{2x^2 - 3x - 10} = x$$
Возведём в квадрат обе стороны:
\begin{equation}
2x^2 - 3x - 10  = x^2 
\end{equation}
\begin{equation}
x^2 - 3x - 10 = 0
\end{equation}
$$D = b^2 - 4ac = 9 + 40 = 7^2$$
$$x_1 = \frac{3 + 7}{2} = 5$$
$$x_2 = \frac{3 - 7}{2} = -2$$
$x$ не может быть отрицательным числом, а число 5 удовлетворяет условию. Значит
ewline
	extbf{Ответ: $x = 5$.}
\item \begin{equation}
2\sqrt{x + 5} = x + 2
\end{equation}
Возведём в квадрат обе стороны:
\begin{equation}
4(x + 5) = x^2 + 4x + 4
\end{equation}
\begin{equation}
4x + 20 = x^2 +4x + 4
\end{equation}
\begin{equation}
x^2 - 16 = 0
\end{equation}
$$x^2 = 16$$
$$x = \{4; -4\}$$
Число -4, в отличии от 4, удовлетворяет условию.
ewline
	extbf{Ответ: $x = 4$.}
\item \begin{equation}
\sqrt{15 - 3x} - 1 = x
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt{15 - 3x} = x + 1
\end{equation}
Возведём в квадрат обе стороны:
\begin{equation}
15 - 3x = x^2 + 2x + 1
\end{equation}
\begin{equation}
x^2 + 5x - 14 = 0
\end{equation}
$$D = 25 + 56 = 81 = 9^2$$
$$x_1 = \frac{-5 + 9}{2} = 2$$
$$x_2 = \frac{-5 - 9}{2} = -7$$
Число -7 не удовлетворяет условию.
ewline
	extbf{Ответ: $x = 2$.}
\end{enumerate}

Задание 7.6

Answers

Comments

Задание 7.6

Answers

Comments

Add answer