Задание 9.11 ($\cos \alpha = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2})$)

Question

Пользуясь рисунком 9.3., докажите, что
$$\cos \alpha = \sin \left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right).$$

Gimli · Accepted Answer

Из рисунка
$$\cos \alpha = \frac{BP_2}{OP_2}$$
Так как $OP_2, OP_1 - $радиусы, то $OP_2 =  OP_1$, следовательно
$$\cos \alpha = \frac{BP_2}{OP_1}$$
Передвигая $\angle P_2$ на $\frac{\pi}{2}$, получаем треугольник $AOP_1$. Значит
$$\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{AP_1}{OP_1}$$
Так как треугольник $AOP_1$ получился передвижением треугольника $BOP_2$, то $AOP_1 = BOP_2$, а значит, $BP_2 = AP_1$. Следовательно
$$\cos \alpha = \frac{BP_2}{OP_1} = \frac{AP_1}{OP_1} = \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) ,$$
что и требовалось доказать. $\blacksquare$

Задание 9.11 ($\cos \alpha = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2})$)

Answers

Comments

Задание 9.11 ($\cos \alpha = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2})$)

Answers

Comments

Add answer