Exercise 12.1.4

Verify (12.9) and (12.10).

Answers

Proof. Starting from

x 4 − σ 1 x 3 = − σ 2 x 2 + σ 3 x − σ 4 ,

we add the quantity

y x 2 + 1 4 ( − σ 1 x + y ) 2 = ( y + σ 1 2 4 ) x 2 − σ 1 2 yx + y 2 4 ,

so

x 4 − σ 1 x 3 + y x 2 + 1 4 ( − σ 1 x + y ) 2 = − σ 2 x 2 + σ 3 x − σ 4 + ( y + σ 1 2 4 ) x 2 − σ 1 2 yx + y 2 4 ,

Since

x 4 − σ 1 x 3 + y x 2 + 1 4 ( − σ 1 x + y ) 2 = x 4 + ( − σ 1 x + y ) x 2 + 1 4 ( − σ 1 x + y ) 2 = ( x 2 + 1 2 ( − σ 1 x + y ) ) 2 = ( x 2 − σ 1 2 x + y 2 ) 2 ,

we obtain

( x 2 − σ 1 2 x + y 2 ) 2 = ( y + σ 1 2 4 − σ 2 ) x 2 + ( − σ 1 2 y + σ 3 ) x + y 2 4 − σ 4 .

The discriminant of the right member A x 2 + Bx + C is

Δ = B 2 − 4 AC = ( − σ 1 2 y + σ 3 ) 2 − 4 ( y + σ 1 2 4 − σ 2 ) ( y 2 4 − σ 4 ) .

4 Δ = ( − σ 1 y + 2 σ 3 ) 2 − ( 4 y + σ 1 2 − 4 σ 2 ) ( y 2 − 4 σ 4 ) = ( σ 1 2 y 2 − 4 σ 1 σ 3 y + 4 σ 3 2 ) − ( 4 y 3 − 16 σ 4 y + ( σ 1 2 − 4 σ 2 ) y 2 − 4 σ 1 2 σ 4 + 16 σ 2 σ 4 ) = − 4 y 3 + 4 σ 2 y 2 + ( − 4 σ 1 σ 3 + 16 σ 4 ) y + ( 4 σ 3 2 + 4 σ 4 σ 1 2 − 16 σ 2 σ 4 ) = − 4 ( y 3 − σ 2 y 2 + ( σ 1 σ 3 − 4 σ 4 ) y − σ 3 2 − σ 1 2 σ 4 + 4 σ 2 σ 4 ) .

So the second member is a perfect square if and only if the Ferrari resolvent

R ( y ) = y 3 − σ 2 y 2 + ( σ 1 σ 3 − 4 σ 4 ) y − σ 3 2 − σ 1 2 σ 4 + 4 σ 2 σ 4

is zero for the chosen y . □

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2022-07-19 00:00
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