Exercise 1.5.2 (Tables for $S_3, D_8$ and $Q_8$.)

Proof. The product $\mathit{xy}$ is at row $x$ and column $y$.

• Table for $S_3=⟨\sigma ,\tau \mid {\sigma }^3={\tau }^2=e,\mathit{\tau \sigma }={\sigma }^2\tau ⟩=\{e,\sigma ,{\sigma }^2,\tau ,\mathit{\sigma \tau },{\sigma }^2\tau \}$.

  We can take $\sigma =(123)$ and $\tau =(12)$, which gives the dictionnary

  $e$	$\sigma$	${\sigma }^2$	$\tau$	$\mathit{\sigma \tau }$	${\sigma }^2\tau$
  $\text{()}$	$(123)$	$(132)$	$(12)$	(1 3)	(2 3)

  $\text{⋅}$	$e$	$\sigma$	${\sigma }^2$	$\tau$	$\mathit{\sigma \tau }$	${\sigma }^2\tau$
  $e$	$e$	$\sigma$	${\sigma }^2$	$\tau$	$\mathit{\sigma \tau }$	${\sigma }^2\tau$
  $\sigma$	$\sigma$	${\sigma }^2$	$e$	$\mathit{\sigma \tau }$	${\sigma }^2\tau$	$\tau$
  ${\sigma }^2$	${\sigma }^2$	$e$	$\sigma$	${\sigma }^2\tau$	$\tau$	$\mathit{\sigma \tau }$
  $\tau$	$\tau$	${\sigma }^2\tau$	$\mathit{\sigma \tau }$	$e$	${\sigma }^2$	$\sigma$
  $\mathit{\sigma \tau }$	$\mathit{\sigma \tau }$	$\tau$	${\sigma }^2\tau$	$\sigma$	$e$	${\sigma }^2$
  ${\sigma }^2\tau$	${\sigma }^2\tau$	$\mathit{\sigma \tau }$	$\tau$	${\sigma }^2$	$\sigma$	$e$

• Table for $D_8=⟨r,s\mid r^4=s^2=e,\mathit{sr}=r^{3}s⟩=\{e,r,r^2,r^3,s,\mathit{rs},r^{2}s,r^{3}s\}$.

  (We may use $(r^h{s}^k)(r^{h^{\prime }}{s}^{k^{\prime }})=r^{h+{(-1)}^k{h}^{\prime }}{s}^{k+k^{\prime }}$, in particular $s(r^a{s}^b)=r^{-a}{s}^{b+1}$.)

  $\text{⋅}$	$e$	$r$	$r^2$	$r^3$	$s$	$\mathit{rs}$	$r^{2}s$	$r^{3}s$
  $e$	$e$	$r$	$r^2$	$r^3$	$s$	$\mathit{rs}$	$r^{2}s$	$r^{3}s$
  $r$	$r$	$r^2$	$r^3$	$e$	$\mathit{rs}$	$r^{2}s$	$r^{3}s$	$s$
  $r^2$	$r^2$	$r^3$	$e$	$r$	$r^{2}s$	$r^{3}s$	$s$	$\mathit{rs}$
  $r^3$	$r^3$	$e$	$r$	$r^2$	$r^{3}s$	$s$	$\mathit{rs}$	$r^{2}s$
  $s$	$s$	$r^{3}s$	$r^{2}s$	$\mathit{rs}$	$e$	$r^3$	$r^2$	$r$
  $\mathit{rs}$	$\mathit{rs}$	$s$	$r^{3}s$	$r^{2}s$	$r$	$e$	$r^3$	$r^2$
  $r^{2}s$	$r^{2}s$	$\mathit{rs}$	$s$	$r^{3}s$	$r^2$	$r$	$e$	$r^3$
  $r^{3}s$	$r^{3}s$	$r^{2}s$	$\mathit{rs}$	$s$	$r^3$	$r^2$	$r$	$e$

• Table for $Q_8$:

  $\text{⋅}$	$1$	$-1$	$i$	$-i$	$j$	$-j$	$k$	$-k$
  $1$	$1$	$-1$	$i$	$-i$	$j$	$-j$	$k$	$-k$
  $-1$	$-1$	$1$	$-i$	$i$	$-j$	$j$	$-k$	$k$
  $i$	$i$	$-i$	$-1$	$1$	$k$	$-k$	$-j$	$j$
  $-i$	$-i$	$i$	$1$	$-1$	$-k$	$k$	$j$	$-j$
  $j$	$j$	$-j$	$-k$	$k$	$-1$	$1$	$i$	$-i$
  $-j$	$-j$	$-j$	$k$	$-k$	$1$	$-1$	$-i$	$i$
  $k$	$k$	$-k$	$j$	$-j$	$-i$	$i$	$-1$	$1$
  $-k$	$-k$	$k$	$-j$	$j$	$i$	$-i$	$1$	$-1$