Exercise 1.4.7

$A=\left[\begin{array}{cccc}\hfill a\hfill & \hfill a\hfill & \hfill a\hfill & \hfill a\hfill \\ \hfill a\hfill & \hfill b\hfill & \hfill b\hfill & \hfill b\hfill \\ \hfill a\hfill & \hfill b\hfill & \hfill c\hfill & \hfill c\hfill \\ \hfill a\hfill & \hfill b\hfill & \hfill c\hfill & \hfill d\hfill \end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}\hfill a\hfill & \hfill a\hfill & \hfill a\hfill & \hfill a\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill b-a\hfill & \hfill b-a\hfill & \hfill b-a\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill b-a\hfill & \hfill c-a\hfill & \hfill c-a\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill b-a\hfill & \hfill c-a\hfill & \hfill d-a\hfill \end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}\hfill a\hfill & \hfill a\hfill & \hfill a\hfill & \hfill a\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill b-a\hfill & \hfill b-a\hfill & \hfill b-a\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill c-b\hfill & \hfill c-b\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill c-b\hfill & \hfill d-b\hfill \end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}\hfill a\hfill & \hfill a\hfill & \hfill a\hfill & \hfill a\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill b-a\hfill & \hfill b-a\hfill & \hfill b-a\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill c-b\hfill & \hfill c-b\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill d-c\hfill \end{array}\right]$

and we have $A=\mathit{LU}=\left[\begin{array}{cccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}\hfill a\hfill & \hfill a\hfill & \hfill a\hfill & \hfill a\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill b-a\hfill & \hfill b-a\hfill & \hfill b-a\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill c-b\hfill & \hfill c-b\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill d-c\hfill \end{array}\right]$

For $U$ with non-zero pivot, we need $a\ne 0$, and $b\ne a$, $c\ne b$, $d\ne c$.