Exercise 7.2.1

We obtain the 5 by 5 discrete Gaussian $G$ from wikipedia on Kernel (image processing) using Gaussian blur $5\times 5$. We have the Gaussian matrix from wiki as

$G=\frac{1}{256}\left[\begin{array}{ccccc}\hfill 1\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 4\hfill & \hfill 16\hfill & \hfill 24\hfill & \hfill 16\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill 6\hfill & \hfill 24\hfill & \hfill 36\hfill & \hfill 24\hfill & \hfill 6\hfill \\ \hfill 6\hfill & \hfill 24\hfill & \hfill 36\hfill & \hfill 24\hfill & \hfill 6\hfill \\ \hfill 4\hfill & \hfill 16\hfill & \hfill 24\hfill & \hfill 16\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right]$.

It’s easy to check that $G=\frac{1}{256}\left[\begin{array}{c}\hfill 1\hfill \\ \hfill 4\hfill \\ \hfill 6\hfill \\ \hfill 4\hfill \\ \hfill 1\hfill \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccccc}\hfill 1\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right]$

See below for the different effects of this filter and the book’s filter (equation 3) on a horizontal edge and a diagonal edge.

It looks like that both Gaussian matrices have similar effects on the edges, i.e. smooth (blur) the original edge. The Gaussian matrix from equation (3) displays sharper edges after filtering than the wikipedia Gaussian.

#### Problem VII.2.1 
 
import numpy as np 
 
# Discrete Gaussian from wikipedia 
gau_wiki = np.array([[1, 4, 6, 4, 1], [4, 16, 24, 16, 4], [6, 24, 36, 24, 6], [4, 16, 24, 16, 4], [1, 4, 6, 4, 1]]) 
print(’Gaussian␣matrix␣from␣wikipedia␣␣(before␣normalization):␣\n’, gau_wiki) 
 
u1 = np.array([[1, 4, 6, 4, 1]]).reshape(-1, 1) 
v1 = u1.transpose() 
 
#u, s, vh = np.linalg.svd(gau_wiki, full_matrices=True) 
#u.shape, s.shape, vh.shape 
print(’Gaussian␣5␣by␣5␣equals␣to␣its␣rank-1␣approximation:␣’, np.allclose(np.matmul(u1, v1)/256, gau_wiki/256)) 
 
 
# Discrete Gaussian from equation (3) 
 
gau = np.array([[1, 4, 7, 4, 1], [4, 16, 26, 16, 4], [7, 26, 41, 26, 7], [4, 16, 26, 16, 4], [1, 4, 7, 4, 1]]) 
print(’Gaussian␣matrix␣from␣equation␣3␣(before␣normalization):␣\n’, gau) 
 
ones = np.ones((1,5)) 
zeros = np.zeros((1,5)) 
horizontal_edge = np.vstack([ones, ones, ones, zeros, zeros]) 
print(’Horizontal␣edge:␣\n’, horizontal_edge) 
 
ones = np.ones((5,5)) 
diagonal_edge = np.tril(ones) 
print(’Diagonal␣edge:␣\n’, diagonal_edge) 
 
#gau_wiki = gau_wiki/256 
#gau = gau/273 
 
# Apply on Horizontal Edge 
gh_wiki = np.matmul(gau_wiki, horizontal_edge) 
gh = np.matmul(gau, horizontal_edge) 
print("\n----------------------␣Output␣-------------------\n") 
print("Note:␣To␣see␣better␣the␣effect␣of␣filtering,␣we␣don’t␣normalize␣the␣Gaussian␣matrices␣here") 
print(’Apply␣Wiki␣Gaussian␣to␣Horizontal␣Edge:␣\n’, gh_wiki) 
print(’Apply␣Equation␣3␣Gaussian␣to␣Horizontal␣Edge:␣\n’, gh) 
 
# Apply on Diagonal Edge 
gd_wiki = np.matmul(gau_wiki, diagonal_edge) 
gd = np.matmul(gau, diagonal_edge) 
 
print(’Apply␣Wiki␣Gaussian␣to␣Diagonal␣Edge:␣\n’, gd_wiki) 
print(’Apply␣Equation␣3␣Gaussian␣to␣Diagonal␣Edge:␣\n’, gd)

Gaussian matrix from wikipedia  (before normalization):
 [[ 1  4  6  4  1]
 [ 4 16 24 16  4]
 [ 6 24 36 24  6]
 [ 4 16 24 16  4]
 [ 1  4  6  4  1]]
Gaussian 5 by 5 equals to its rank-1 approximation:  True
Gaussian matrix from equation 3 (before normalization):
 [[ 1  4  7  4  1]
 [ 4 16 26 16  4]
 [ 7 26 41 26  7]
 [ 4 16 26 16  4]
 [ 1  4  7  4  1]]
Horizontal edge:
 [[1. 1. 1. 1. 1.]
 [1. 1. 1. 1. 1.]
 [1. 1. 1. 1. 1.]
 [0. 0. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 0. 0.]]
Diagonal edge:
 [[1. 0. 0. 0. 0.]
 [1. 1. 0. 0. 0.]
 [1. 1. 1. 0. 0.]
 [1. 1. 1. 1. 0.]
 [1. 1. 1. 1. 1.]]

---------------------- Output -------------------

Note: To see better the effect of filtering, we don’t normalize the Gaussian
matrices here
Apply Wiki Gaussian to Horizontal Edge:
 [[11. 11. 11. 11. 11.]
 [44. 44. 44. 44. 44.]
 [66. 66. 66. 66. 66.]
 [44. 44. 44. 44. 44.]
 [11. 11. 11. 11. 11.]]
Apply Equation 3 Gaussian to Horizontal Edge:
 [[12. 12. 12. 12. 12.]
 [46. 46. 46. 46. 46.]
 [74. 74. 74. 74. 74.]
 [46. 46. 46. 46. 46.]
 [12. 12. 12. 12. 12.]]
                                                                  

                                                                  
Apply Wiki Gaussian to Diagonal Edge:
 [[16. 15. 11.  5.  1.]
 [64. 60. 44. 20.  4.]
 [96. 90. 66. 30.  6.]
 [64. 60. 44. 20.  4.]
 [16. 15. 11.  5.  1.]]
Apply Equation 3 Gaussian to Diagonal Edge:
 [[ 17.  16.  12.   5.   1.]
 [ 66.  62.  46.  20.   4.]
 [107. 100.  74.  33.   7.]
 [ 66.  62.  46.  20.   4.]
 [ 17.  16.  12.   5.   1.]]