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An Introduction to the Theory of Numbers

Exercise 2.7.12* ($\binom{mp-1}{p-1} \equiv 1 \pmod{p^3}$, if $p\geq 5$)

Show that if p ≥ 5 and m is a positive integer then ( mp − 1 p − 1 ) ≡ 1 ( mod p 3 ) .

Answers

I found the idea by considering first the particular case m = 2 , p = 5 .

Proof. By (2.9),

f ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − p + 1 ) (1) = x p − 1 − σ 1 x p − 2 + ⋯ + σ p − 3 x 2 − σ p − 2 x + σ p − 1 . (2)

Then

( mp − 1 p − 1 ) − 1 = ( mp − 1 p − 1 ) − ( p − 1 p − 1 ) = ∑ k = 1 m − 1 [ ( ( k + 1 ) p − 1 p − 1 ) − ( kp − 1 p − 1 ) ] ,

where, using (1),

( ( k + 1 ) p − 1 p − 1 ) − ( kp − 1 p − 1 ) = 1 ( p − 1 ) ! { [ ( k + 1 ) p − 1 ] ! ( kp ) ! − ( kp − 1 ) ! [ ( k − 1 ) p ] ! } = 1 ( p − 1 ) ! { [ ( k + 1 ) p − 1 ] [ ( k + 1 ) p − 2 ] ⋯ [ ( k + 1 ) p − ( p − 1 ) ] − ( kp − 1 ) ( kp − 2 ) ⋯ [ kp − ( p − 1 ) ] } = 1 ( p − 1 ) ! [ f ( ( k + 1 ) p ) − f ( kp ) ] .

Therefore

( mp − 1 p − 1 ) − 1 = 1 ( p − 1 ) ! ∑ k = 1 m − 1 [ f ( ( k + 1 ) p ) − f ( kp ) ] (3) = 1 ( p − 1 ) ! ( f ( mp ) − f ( p ) ) , (4)

where f ( p ) = ( p − 1 ) ! , and by (2),

f ( mp ) = ( mp ) p − 1 − σ 1 ( mp ) p − 1 + ⋯ + σ p − 3 ( mp ) 2 − σ p − 2 ( mp ) + σ p − 1 ≡ σ p − 3 ( mp ) 2 − σ p − 2 ( mp ) + σ p − 1 ( mod p 3 ) .

Here σ p − 1 = ( p − 1 ) ! , and σ p − 3 ≡ 0 ( mod p ) (see p.96). Since p ≥ 5 , the Wolstenholme’s congruence shows that σ p − 2 ≡ 0 ( mod p 2 ) . Hence, for all m ≥ 1 ,

f ( mp ) ≡ ( p − 1 ) ! = f ( p ) ( mod p 3 ) . (5)

Therefore, using (4),

p 3 ∣ f ( mp ) − f ( p ) = ( p − 1 ) ! [ ( mp − 1 p − 1 ) − 1 ] .

Since p 3 ∧ ( p − 1 ) ! = 1 , p 3 ∣ ( mp − 1 p − 1 ) − 1 . This shows that

( mp − 1 p − 1 ) ≡ 1 ( mod p 3 ) , ( if  p ≥ 5 ) .

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2024-09-05 08:48
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