Exercise 3.2

Proof. More a latex exercise than a mathematical one.

$\mathbb{Z}∕5\mathbb{Z}$ :

$\begin{array}{cccccc}\hfill \text{+}\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill \\ & & & & & \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill 4\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}$ $\begin{array}{cccccc}\hfill \text{×}\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill \\ & & & & & \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 3\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill 4\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}$

$\mathbb{Z}∕8\mathbb{Z}$:

$\begin{array}{ccccccccc}\hfill \text{+}\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 7\hfill \\ & & & & & & & & \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 7\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill 4\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill \\ \hfill 5\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill 6\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 5\hfill \\ \hfill 7\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}$ $\begin{array}{ccccccccc}\hfill \text{×}\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 7\hfill \\ & & & & & & & & \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 7\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 6\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 5\hfill \\ \hfill 4\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill 5\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 3\hfill \\ \hfill 6\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill 7\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}$

$\mathbb{Z}∕10\mathbb{Z}$ :

$\begin{array}{ccccccccccc}\hfill \text{+}\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill 8\hfill & \hfill 9\hfill \\ & & & & & & & & & & \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill 8\hfill & \hfill 9\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill 8\hfill & \hfill 9\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill 8\hfill & \hfill 9\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill 8\hfill & \hfill 9\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill 4\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill 8\hfill & \hfill 9\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill \\ \hfill 5\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill 8\hfill & \hfill 9\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill 6\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill 8\hfill & \hfill 9\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 5\hfill \\ \hfill 7\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill 8\hfill & \hfill 9\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill \\ \hfill 8\hfill & \hfill 8\hfill & \hfill 9\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 7\hfill \\ \hfill 9\hfill & \hfill 9\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill 8\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}$ $\begin{array}{ccccccccccc}\hfill \text{×}\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill 8\hfill & \hfill 9\hfill \\ & & & & & & & & & & \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill 8\hfill & \hfill 9\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 8\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 8\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 9\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 8\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 7\hfill \\ \hfill 4\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 8\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 8\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 6\hfill \\ \hfill 5\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 5\hfill \\ \hfill 6\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 8\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 8\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill 7\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 8\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 9\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 3\hfill \\ \hfill 8\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 8\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 8\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill 9\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 9\hfill & \hfill 8\hfill & \hfill 7\hfill & \hfill 6\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}$

Python code to generate the latex code to create such an array :

n= 10
print(’$’)
ligne = ’\\begin{array}{c|’+ n*’c’+’}’
print(ligne)
ligne=’\\times’
for j in range(n):
    ligne += ’ & ’ + str(j)
ligne += ’\\’
ligne += ’\\’
ligne += ’ \\hline’
print(ligne)
for i in range(n):
    ligne = str(i)
    for j in range(n):
        ligne +=’ & ’+ str((i * j) % n)
    ligne += ’\\’
    ligne += ’\\’
    print(ligne)
print(’\\end{array}’)
print(’$’)

□