Exercise 5.22

Proof. $(113∕997)=(997∕113)=(93∕113)=(113∕93)=(20∕93)=(2^2∕93)(5∕93)=(5∕93)=(93∕5)=(3∕5)=(5∕3)=(2∕3)=-1$.

$(215∕761)=(761∕215)=(116∕215)=(2^2∕215)(29∕215)=(29∕215)=(215∕29)=(12∕29)=(2^2∕29)(3∕29)=(3∕29)=(29∕3)=(2∕3)=-1$.

$(514∕1093)=(2∕1093)(257∕1093)=-(257∕1093)=-(1093∕257)=-(65∕257)=-(257∕65)=-(62∕65)=-(2∕65)(31∕65)=-(31∕65)=-(65∕31)=-(3∕31)=(31∕3)=(1∕3)=1$.

$(401∕757)=(757∕401)=(356∕401)=(401∕89)=(45∕89)=(89∕45)=(44∕45)=(2^2∕45)(11∕45)=(11∕45)=(45∕11)=(1∕11)=1$. □