Задание 155

По определению, любой треугольник имеет три вершины. Значит, либо две точки находятся на одной прямой, а другая одна точка - на параллельной ей прямой; либо одна точка находится на первой прямой, а другие две точки - на параллельной первой прямой. Рассмотрим каждый случай в отдельности.

1.

Две точки находятся на первой прямой, а другая одна точка - на параллельной ей прямой.
На первой прямой, на которой отмечено 10 точек, можно выбрать 2 точки $C_{10}^2$ способами (порядок роли не играет). Это число равно: $$C_{10}^2=\frac{10!}{2!\cdot 8!}=\frac{9\cdot 10}{2}=45.$$

A на второй прямой отмечено 12 точек. Значит, на второй прямой можно выбрать одну точку 12ю способами.
Отсюда следует, что в этом случае существует:

$$C_{10}^2\cdot 12=45\cdot 12=540$$

треугольников.

2.

Oдна точка находится на первой прямой, а другие две точки - на параллельной eй прямой.
На первой прямой одну точку можно выбрать 10 способами, а две точки на второй прямой можно выбрать $$C_{12}^2=\frac{12!}{2!\cdot 10!}=\frac{11\cdot 12}{2}=66$$

способами. Следовательно, в этом случае всего

$$10\cdot C_{12}^2=10\cdot 66=660$$

треугольников.

Чтобы найти общее число треугольников, нужно прибавить полученные результаты из первого и второго пунктов:

Oтвет: 1200 треугольников.