Задание 158

a) Легко заметить, что выражение $x+3$ в уравнении повторяется. Значит для решения этого уравнения можно сделать замену $x+3$ на $\psi$:

$${(x-3)}^2-2(x-3)-15=0$$

$${\psi }^2-2\psi -15=0$$

$$D=b^2-4\mathit{ac}=4+60=64=8^2$$

$${\psi }_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{2+8}{2}=5$$

$${\psi }_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{2-8}{2}=-3$$

Используя значения $\psi$ найдём значения $x$:

• $\psi =5$
  

  $$x-3=5$$
  $$x=8$$

  
  

• $\psi =-3$
  

  $$x-3=-3$$
  $$x=0$$

Ответ: $x=\{8;0\}$
б)

$$4x^2+4\sqrt{3}x+1=0$$

$$D=b^2-4\mathit{ac}={(4\sqrt{3})}^2-4\cdot 4=48-16=32$$

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-4\sqrt{3}\pm \sqrt{32}}{8}=\frac{-\sqrt{3}}{2}\pm \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{-\sqrt{3}\pm \sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $x=\frac{-\sqrt{3}\pm \sqrt{2}}{2}$
в) Так как уравнение содержит модуль, необходимо рассмотреть следующие случаи:

1.

$x>0$
$$x^2+6x-72=0$$

$$D=b^2-4\mathit{ac}=36+72\cdot 4=36+288=324=18^2$$

$$x_1=\frac{-6+18}{2}=\frac{12}{2}=6$$

$$x_2=\frac{-6-18}{2}=\frac{-24}{2}=-12$$

Так как $-12<0$, то в этом случае $x=6$.

2.

$x<0$
$$x^2-6x-72=0$$

$$D=36+288=324=18^2$$

$$x_1=\frac{6+18}{2}=12$$

$$x_2=\frac{6-18}{2}=-6$$

Так как $-12>0$, то в этом случае $x=-6$.

Объединяя ответы, получаем:
Ответ: $x=\{6;-6\}$
г)

$$\frac{x}{x+3}-\frac{4}{x-3}=\frac{18}{x^2-9}$$

$:x\ne \{3;-3\}$

$$\frac{x^2-3x}{x^2-9}-\frac{4x+12}{x^2-9}=\frac{18}{x^2-9}$$

$$\frac{x^2-3x-4x-12}{x^2-9}=\frac{18}{x^2-9}$$

$$x^2-7x-12=18$$

$$x^2-7x-30=0$$

$$D=49+30\cdot 4=49+120=169=13^2$$

$$x_1=\frac{7+13}{2}=10$$

$$x_2=\frac{7-13}{2}=\frac{-6}{2}=-3$$

$-3\notin ⟹x=10$.
Ответ: x = 10