Задание 196

В этом задании необходимо рассмотреть 2 случая.

1.

$x=0$

При $x=0$ данное уравнение является линейным и имеет следующий корень: $$-x-1=0$$

$$-x=1$$

$$x=-1$$

Значит, при $a=0$ уравнение имеет решение.

2.

$x\ne 0$
При $x\ne 0$ данное уравнение является квадратным. Найдём дискриминант этого квадратного уравнения: $$D={(a-1)}^2-(a-1)a\cdot 4=a^2-2a+1-4a^2+4a=-3a^2+2a+1$$

Чтобы уравнение имело один корень нужно, чтобы найденный нами дискриминант был равен $0$:

$$-3a^2+2a+1=0$$

$$D=4+3\cdot 4=16=4^2$$

$$a_1=\frac{-2+4}{-6}=\frac{2}{-6}=-\frac{1}{3}$$

$$a_2=\frac{-2-4}{-6}=\frac{-6}{-6}=1$$

Объединяя ответы, получаем:
Ответ: $a\in \{-\frac{1}{3};0;1\}$