Задание 203 (Произведение трёх последовательных чисел кратно 6)

Question

\begin{enumerate}
\item Для доказательства истинности общего утверждения А: "Произведение числа $n$ и двух следующих за ним чисел кратно 6 " выполните следующие шаги:\begin{itemize}
\item Проверьте истинность данного утверждения для $n = 1$;
\item Запишите на математическом языке, что утверждение истинно для числа $n$;
\item При условии, что утверждение истинно для числа $n$, докажите, что оно истинно и для $n + 1$;
\end{itemize}
\item Проанализируйте шаги, выполненные в пунктах 1а-1в. Объясните как, пользуясь истинностью $A(1)$ и доказанным следованием $A(n)\Longrightarrow A(n + 1)$, можно провести бесконечную цепочку рассуждений:
ewline
$A(1) 	ext{истинно} \Rightarrow A(2) 	ext{истинно};$
$A(2)	ext{истинно} \Rightarrow A(3) 	ext{истинно};\ldots$
$A(100) 	ext{истинно} \Rightarrow A(101) 	ext{истинно}; \ldots$
$A(n) 	ext{истинно} \Rightarrow A(n + 1)	ext{истинно}...$.
\item  Можно ли использовать данный метод доказательства для других общих утверждений на бесконечном множестве? Сформулируйте шаги, которые были предприняты для доказательства в общем виде. Сравните свой вариант с алгоритмом на стр. 62.
\end{enumerate}

Gimli · Accepted Answer

\begin{lemma}
Произведение числа $n$ и двух следующих за ним чисел кратно 6.
\end{lemma}
\begin{proof}
Докажем лемму методом математической индукции.
\begin{enumerate}
\item 	extit{(Базис индукции)} Проверим истинность высказывания для $n = 1$:
$$1\cdot 2\cdot 3 = 6\vdots 6$$
Высказывание верно для $n = 1$.
\item 	extit{(Индукционный шаг)} Допустим высказывание
$$n(n + 1)(n + 2)	ext{  }\vdots 	ext{  } 6$$
верно при каком-либо $n\in \mathbb{N}$.
ewline
Докажем высказывание для следующего натурального числа $n + 1$.
$$(n + 1)(n + 2)(n + 3)\vdots 6$$
По распределительному свойству
$$(n + 1)(n + 2)(n + 3) = (n + 1)(n + 2)\cdot n + (n + 1)(n + 2) \cdot 3.$$
Первое слагаемое кратно 6 по допущению. Попытаемся доказать, что и второе слагаемое кратно 6.
ewline
Так как $n\in \mathbb{N}$, и у второго слагаемого есть множитель 3, то 	extbf{второе слагаемое кратно 3.} Так как $n + 1, n + 2$- числа последовательные, то среди них есть и чётное число, а значит, это число делится на 2. Следовательно, $(n + 1)(n + 2)	ext{   }\vdots	ext{   } 2$. Так как 2 и 3 - взаимно простые числа, то по теореме произведение делится на 6: $3(n + 1)(n + 2)\vdots 6$. Из этого делаем вывод, что оба слагаемых кратны 6, а значит, по теореме, и вся сумма делится на 6, что и требовалось доказать. 
\end{enumerate}
\end{proof}

Задание 203 (Произведение трёх последовательных чисел кратно 6)

Answers

Comments

Задание 203 (Произведение трёх последовательных чисел кратно 6)

Answers

Comments

Add answer