Задание 204 (Приём Гаусса)

Доказательство. Докажем тождество методом математической индукции.

1.

(Базис индукции) Проверим утверждение при $n=1$. Тогда $$1=\frac{1\times 2}{2}=1,$$

высказывание верно.

2.

(Индукционный шаг) Индуктивно допустим, что высказывание $1+2+\dots +n=\frac{n\cdot (n+1)}{2}$ верно для какого-либо $n\in \mathbb{N}$.
Докажем высказывание для следующего натурального числа $n+1$. Из индукционного шага: $$\begin{array}{llll}\hfill 1+2+\dots +n+(n+1)& =\frac{n\cdot (n+1)}{2}+(n+1)& \hfill & \\ \hfill & =\frac{n\cdot (n+1)}{2}+\frac{2n+2}{2}& \hfill & \\ \hfill & =\frac{n\cdot (n+1)+2(n+1)}{2}& \hfill & \\ \hfill & =\frac{(n+2)(n+1)}{2}& \hfill & \end{array}$$

Высказывание выше закрывает индукцию, ибо это высказывание, которое нам нам надо было доказать, что и требовалось доказать.