Задание 205 (Сумма произведений трёх последовательных чисел)

Доказательство. Докажем лемму методом математической индукции.

1.

Проверим лемму для $n=1$: $$1\cdot 2\cdot 3=\frac{1}{4}\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4$$

Высказывание верно. (6 = 6)

2.

Допустим высказывание, которое нам надо доказать, является правдой $$S_n=1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 3\cdot 4+\dots +n(n+1)(n+2)=\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)$$

для какого-либо $n$.

3.

Докажем высказывание для следующего числа $n+1$. Высказывание, которое нам надо доказать, следующее: $$1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 3\cdot 4+\dots +n(n+1)(n+2)+(n+1)(n+2)(n+3)=\frac{1}{4}(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$$

Приступим к доказательству:

$$\begin{array}{lll}\hfill 1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 3\cdot 4+\dots +(n+1)(n+2)(n+3)=& & \hfill \\ \hfill & =S_n+(n+1)(n+2)(n+3)& \hfill & \\ \hfill & =\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)+(n+1)(n+2)(n+3)& \hfill & \\ \hfill & =(n+1)(n+2)(n+3)(\frac{1}{4}n+1)& \hfill & \\ \hfill & =\frac{1}{4}(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)& \hfill & \end{array}$$

Последнее утверждение закрывает индукцию, ибо это и есть высказывание, которое нам надо доказать, что и требовалось доказать.