Задание 206 (Степень двух больше степени)

Доказательство. Докажем лемму методом математической индукции.

1.

Проверим высказывание для $n=1$: $$2^1>1⟺2>1$$

Высказывание верно.

2.

Допустим высказывание $2^n>n$ верно для какого либо $n\in N$.
Докажем высказывание для следующего натурального числа $n+1$: $$2^{n+1}>n+1$$

Так как $2^{n+1}=2^n\cdot 2$, а $2^n\cdot 2>2n$ по допущению, то

$$2^{n+1}=2^n\cdot 2>2n=n+n\ge n+1$$

А значит,

$$2^{n+1}\ge n+1$$

Из этого следует, что $2^{n+1}>n+1$, что и требовалось доказать.