Задание 207

Доказательство.

1.

Базис индукции. Проверим высказывание для $n=1$: $$\frac{2!}{1}\ge \frac{4}{2}.$$

Высказывание верно.

2.

Шаг индукции. Допустим высказывание $$\frac{(2n)!}{{(n!)}^2}\ge \frac{4^n}{n+1}$$

верно при каком-либо $n\in \mathbb{N}$.
Докажем высказывание для следующего натурального числа $n+1$:

$$\frac{(2n+2)!}{{((n+1)!)}^2}\ge \frac{4^{n+1}}{n+2}.$$

Приступим к доказательству. из допущения следует:

$$\frac{(2n+2)!}{{((n+1)!)}^2}=\frac{(2n)!}{{(n!)}^2}\cdot \frac{(2n+1)(2n+2)}{{(n+1)}^2}\ge \frac{4^n}{n+1}\cdot \frac{4n+2}{n+1}\ge \frac{4^{n+1}}{n+2}.$$

Доказательство последнего утверждения $\frac{4^n}{n+1}\cdot \frac{4n+2}{n+1}\ge \frac{4^{n+1}}{n+2}$ приведено ниже.
$\frac{4^{n+1}}{n+2}=\frac{4^n}{n+2}\cdot 4$, $\text{⟹}$ высказывание, которое нам надо доказать, равносильно следующему:

$$\frac{4^n}{n+1}\cdot \frac{4n+2}{n+1}\ge \frac{4^n}{n+2}\cdot 4$$

Сокращая, получаем:

$$\frac{n+0.5}{{(n+1)}^2}\ge \frac{1}{n+2}$$

По основному свойству пропорции

$$n^2+2.5n+1\ge n^2+2n+1$$

$$0.5n\ge 0$$

Последнее высказывание закрывает индукцию.