Задание 215 (Примеры на системы неравенств)

1.

$\frac{4}{x^2-9}-\frac{4}{x+3}\le 0$.
Прежде чем приступать к решению уравнения, найдём ОДЗ:$x\ne \pm 3$ $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{4}{x^2-9}-\frac{4}{x+3}\le 0& ⟺\frac{4}{x^2-9}-\frac{4x-12}{x^2-9}\le 0& \hfill \text{(1)}\\ \hfill & ⟺\frac{4-4x+12}{x^2-9}\le 0& \hfill \text{(2)}\\ \hfill & ⟺\frac{16-4x}{x^2-9}\le 0& \hfill \text{(3)}\\ \hfill & ⟺\frac{4(4-x)}{x^2-9}\le 0& \hfill \text{(4)}\\ \hfill & ⟺4\frac{4-x}{(x-3)(x+3)}\le 0& \hfill \text{(5)}\\ \hfill & ⟺\frac{4-x}{(x-3)(x+3)}\le 0& \hfill \text{(6)}\\ \hfill & ⟺(4-x)(x-3)(x+3)\le 0& \hfill \text{(7)}\\ \hfill & ⟺(x-4)(x-3)(x+3)\ge 0& \hfill \text{(8)}\end{array}$$

Решая уравнение методом интервалов, получаем: $x\in [-3;3)\cup [4;+\infty )$.

2.

$x^2-3x-10<0$.
Для того чтобы решить это неравенство, нужно разложить левую часть на множители: $$\begin{array}{lll}\hfill x^2-3x-10=0& ⟹D=9+40=7^2& \hfill \text{(9)}\\ \hfill & ⟹x_1=\frac{3+7}{2}=5;x_2=\frac{3-7}{2}=-2& \hfill \text{(10)}\\ \hfill & ⟹x^2-3x-10=(x-5)(x+2)& \hfill \text{(11)}\end{array}$$

Следовательно, неравенство, которое нам надобно решить, равносильно следующему:

$$(x-5)(x+2)<0$$

Решая полученное неравенство методом интервалов, получаем: $x\in (-2;5)$.

Cистему, которую нам надо решить, равносильна следующему:

Ответ: $x\in (-2;3)\cup [4;5)$