Задание 217 (Сумма кубов натуральных чисел)

Question

Для натуральных $n$ докажите тождество: $$1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4}$$

Gimli · Accepted Answer

\begin{enumerate}
\item Проверим высказывание для $n = 1$:
$$1 = \frac{1\cdot 2^2}{4}$$
правда.
\item Пусть высказывание
\begin{equation}
1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4}
\end{equation}
верно при каком либо $n\in \mathbb{N}$.
\item Докажем тождество для следующего натурального числа $n + 1$:
\begin{equation}
1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n + 1)^3= \frac{(n + 1)^2\cdot (n + 2)^2}{4}
\end{equation}
Из допущения:
\begin{equation}
\frac{n^2(n + 1)^2}{4} + (n + 1)^3 = \frac{(n + 1)^2\cdot (n + 2)^2}{4}
\end{equation}
\begin{equation}
(n + 1)^3 = \frac{(n + 1)^2\cdot (n + 2)^2}{4} - \frac{n^2(n + 1)^2}{4}
\end{equation}
\begin{equation}
(n + 1)^3 = (n + 1)^2 \cdot \frac{(n + 2)^2 - n^2}{4}
\end{equation}
\begin{equation}
n + 1 = \frac{4n + 4}{4}
\end{equation}
\begin{equation}
n + 1 = n + 1
\end{equation}
Последнее высказывание правильно для всех $n$, а значит высказывание, которое нам надо доказать -  правда, что и требовалось доказать. $\blacksquare$
\end{enumerate}

Задание 217 (Сумма кубов натуральных чисел)

Answers

Comments

Задание 217 (Сумма кубов натуральных чисел)

Answers

Comments

Add answer