Задание 219

Докажите, что для всех натуральных n выполняется неравенство:

1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (2n − 1) 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ...2n ≥ 1 2n + 1 		(1)

Answers

1.
Проверим высказывание для n = 1 : 1 2 ≤ 1 3, так как 2 > 3.
2.
Допустим высказывание

1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (2n − 1) 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ...2n ≤ 1 2n + 1 		(1)

Верно при каком-либо n ∈ ℕ.

3.
Докажем высказывание для следующего натурального числа n + 1:

1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (2n − 1)(2n + 1) 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ...2n ⋅ (2n + 2) ≤ 1 2n + 3 		(2)

Из допущения

1 2n + 1 ⋅2n + 1 2n + 2 ≤ 1 2n + 3 		(3)

Сокращая, получаем:

2n + 1 2n + 2 ≤ 1 2n + 3 		(4)

Возведём обе стороны в квадрат:

2n + 1 (2n + 2)2 ≤ 1 2n + 3 		(5)

Используя основное свойство пропорции, получаем:

(2n + 1)(2n + 3) ≤ (2n + 2)2 		(6)

4n2 + 8n + 3 ≤ 4n2 + 8n + 4 		(7)

3 ≤ 4 		(8)

Последнее полученное высказывание всегда правда, а значит, высказывние, которое нам надо доказать - правда, что и требовалось доказать. □

User profile picture
2021-10-17 00:00
Comments