Homepage › Solution manuals › Lyudmila Peterson › Алгебра 9 класс. Часть 1. › Задание 58 (Парадокс «Гранд-отель»)
Задание 58 (Парадокс «Гранд-отель»)
- 1.
- Представьте, что существует гостиница с бесконечным числом номеров,
и все ее номера заняты постояльцами. Ответьте на следующие
вопросы:
а) Можно ли переселить каждого постояльца гостиницы в комнату, номер которой вдвое превосходит исходный номер, как это показано на схеме?
б) Можно ли поселить в эту гостиницу столько же постояльцев, сколько в ней уже живет? Объясните, как это сделать.
- 2.
- Докажите, что при объединении двух множеств, каждое из которых эквивалентно , вновь получается множество, эквивалентное .
Answers
- 1.
- Рассмотрим парадокс Гильберта:
а) Да, можно, так как в гостинице бесконечное кол-во номеров.
б) Да, можно. Если переселять каждого постояльца в комнату, номер которой в 2ое происходит исходный, то комнаты с нечётными номерами остануться пустыми. И в эти нечётные номера можно поселить столько же бесконечно постояльцев. - 2.
-
Theorem 1. Объединение двух множеств, каждое из которых эквивалентно , вновь получается множество, эквивалентное .
Доказательство. Для начала переформулируем определение счётности множеств, используя определение эквивалентности множеств. Множество называется счётным, если между ним и множеством натуральных чисел можно составить взаимно однозначное соответствие. А множества называются эквивалентными, если между ними можно составить взаимно однозначное соответствие. Тогда, иначе, определение счётности множеств можно записать так:
Множество называется счётным, если он является эквивалентным множеству натуральных чисел.
Следовательно, объединение двух множеств, каждое из которых эквивалентно , это и есть объединение двух счётных множеств. А по теореме 3, при объединение двух счётных множеств получается счётное множество, то есть множество, эквивалентное , что и требовалось доказать. □
