Задание 59 (Примеры счётных множеств)

Question

Докажите, что счётным является:
ewlineа) множество целых чисел, дающих при делениии на 4 остаток 1;
ewlineб) множество точек плоскости, обе координаты которых рациональны.

Gimli · Accepted Answer

\begin{enumerate}
\item Множество целых чисел, которые при делении на 4 дают остаток 1, является подмножeством множества целых чисел. В свою очередь, множество целых чисел является подмножеством рациональных чисел. Значит, множество целых чисел, при делении на 4 дающих остаток 1 является подмножеством множества рациональных чисел. По теореме, множество рациональных чисел является счётным. Значит, и множество целых чисел, дающих при делении на 4 остаток 1 тоже счётно (по теореме 2), что и требовалось доказать. $\blacksquare$

\item Каждой точке плоскости соответствует две координаты, принадлежащие двум множествам рациональных чисел, каждое из которых является счётным множеством. А так как по теореме 3 объединение двух счётных множеств есть счётное множество, высказывание правда, что и требовалось доказать. $\blacksquare$
\end{enumerate}

Задание 59 (Примеры счётных множеств)

Answers

Comments

Задание 59 (Примеры счётных множеств)

Answers

Comments

Add answer