Задание 60 (Примеры несчётных множеств)

а) Допустим множество точек луча $(a;+\infty )$ счётно. Тогда его подмножество $(a;b)$ по теореме 2 тоже счётно, что неверно. Следовательно, множество точек луча $(a;+\infty )$ несчётно, что и требовалось доказать. $\text{■}$
б) Для начала докажем, что интервал $[a;b]$ является несчётным множеством. Если бы оно было бы счётным, то его подмножество $(a;b)$ тоже было бы счётным, что является неправдой. Следовательно, интервал $[a;b]$ является несчётным. Из этого следует, что и $[a;b]\cup [c;d]$ тоже является несчётным, так как если множество содержит несчётное подмножество, то оно является несчётным, что и требовалось доказать. $\text{■}$