Задание 64

Иными словами, ищем значения $p\in \mathbb{Z}$, при которых система уравнений

имеет решение. По Теореме, мы можем подставить одно равенство в другое и эквивалетно решить полученное вложенное уравнение. Для этого, выразим первое уравнение в ввиде $p$:

Подставим значение $p$ во 2ое уравнение:

Легко заметить, что одним из решений полученного уравнения это 1. Следовательно, в разложении на множители выражения $6x^3-7x^2-4x+5=0$ будет учавствовать множитель $-1$. Раз так, найдём другой множитель, поделив это уравнение на $x-1$ в столбик. В результате мы получаем $6x^2-x-5$.

Для того, чтобы найти другие корни уравнения $6x^3-7x^2-4x+5=0$, решим уравнение $6x^2-x-5=0$:

Значит, уравнения $3x^2-4x+p-2=0$ и $x^2-2\mathit{px}+5=0$ имеют общий корень при

Но в задаче также просят найти значения $p$. Для этого подставим значения $x$ в уравнение $3x^2-4x+p-2=0$:

1.

$x=-\frac{5}{6}$
При $x=-\frac{5}{6}$ значение $\notin Z$, что не удовлетворяет условию.

2.

$x=1$
В результате $3\times 1-4-2+p=0⟹p=3.$

Значит,
Ответ: $p=3$ при $x=1$.