Задание 67

Question

Докажите, что множество корней квадратных уравнений с рациональными коэффицентами является счётным.

Gimli · Accepted Answer

Рассмотрим 2 случая:
\begin{enumerate}
\item 	extit{Если множество корней квадратного уравнения - не $\varnothing$.}
ewline
В этом случае это множество содержит либо 1, либо 2 элемента. Следовательно, между этим множеством и множеством натуральных чисел можно составить взаимно-однозначное соответствие.

\item 	extit{Если множество корней квадратного уравнения - $\varnothing$.}
ewline
Пустое множество всегда является счётным\footnote{
	extit{Лемма. Пустое множество всегда счётно.}
\begin{proof}
По теореме, пустое множество является подмножеством любого множества. Значит, оно является подмножеством множества рациональных чисел. А так как множество рациональных чисел является счётным, то, по теореме, и пустое множество является счётным, что и требовалось доказать.
\end{proof}
}.
Как вы видите, в каждом случаемножество корней квадратного уравнения является счётным, что и требовалось доказать. $\blacksquare$
\end{enumerate}

Задание 67

Answers

Comments

Задание 67

Answers

Comments

Add answer