Задание 9

Question

\begin{enumerate}
\item Представьте, что существует гостиница с бесконечным числом номеров и все ее номера заняты постояльцами. Ответьте на следующие вопросы:
ewline
а) Можно ли переселить каждого ее постояльца в следующий по порядку номер?
ewline
б) Можно ли поселить в нее еще одного постояльца?
ewline
в) Как поселить в эту гостиницу еще 1000000 постояльцев?
\item Докажите, что если у множеству, которое эквивалентно множеству натуральных чисел, добавить еще один элемент, получится множество, которое снова эквивалентно множеству натуральных чисел.
\item Докажите, что если к множеству, которое эквивалентно множеству натуральных чисел, добавить конечное множество элементов, получится множество, которое также эквивалентно множеству натуральных чисел.
\end{enumerate}

Gimli · Accepted Answer

\begin{enumerate}
\item
		а) Да, можно.\newline
		б) Если переселять каждого постояльца в следующий номер, то комната №1 станет пустой. Следовательно, в гостиницу \textbf{МОЖНО} поселить ещё одного постояльца.\newline
		в) Нужно переселять 1го постояльца в $1000001$ый номер, $n$-ного постояльца в $n+10^6$ номер и т.д.
	
\item \textit{Теорема. Если к множеству, которое эквивалентно множеству натуральных чисел, добавить еще один элемент, получится множество, которое снова эквивалентно множеству натуральных чисел.}\newline
\textit{Доказательство.} Данное легко проверить непосредственно используя определение эквивалентности двух множеств. По определению, два множества эквивалентны, если между ними можно построить однозначное соотношение. Пусть $\mathbb{N}$ обозначит множество натуральных чисел, и пусть $x \notin \mathbb{N}$ будет дополнительным элементом, т.е. $\mathbb{N}' := \{x\} \cup \mathbb{N}$. Тогда легко удостовериться, что последующее соотношение однозначно с обеих сторон:
\begin{align*}
\mathbb{N} &\iff \mathbb{N}'\[2pt]
1 &\leftrightarrow x\
2 &\leftrightarrow 1\
3 &\leftrightarrow 2\
&\vdots
\end{align*}
или иными словами,
\begin{align*}
1 &\leftrightarrow x &\
n &\leftrightarrow n-1 &\forall n >1\
\end{align*}
что и требовалось доказать.
$\blacksquare$
	
\item \textit{Теорема. если к множеству, которое эквивалентно множеству натуральных чисел, добавить конечное множество элементов, получится множество, которое также эквивалентно множеству натуральных чисел.}\newline
\textit{Доказательство.} Пусть $m$ будет количеством новых элементов, т.е. $\mathbb{N}' = \mathbb{N}\cup \{x_1,\ldots,x_m\}$. Тогда легко удостовериться, что последующее соотношение однозначно с обеих сторон:
\begin{align*}
n &\leftrightarrow x_n &\forall n \leq m\
n &\leftrightarrow n-m &\forall n > m.\
\end{align*}
Иными словами, каждый дополнительный элемент $x_1,\ldots,x_m$ из $\mathbb{N}'$ мы ассоциировали с первыми $1,\ldots,m$ числами из $\mathbb{N}$, а последующие $1, 2, 3, \ldots$ из $\mathbb{N}'$ мы ассоциировали с последующими свободными (незанятами) числами $m+1, m+2, m+3, \ldots$ из $\mathbb{N}$.$\blacksquare$
\end{enumerate}

Gimli · Answer

\begin{enumerate}
\item
а) Да, можно.
ewline
б) Если переселять каждого постояльца в следующий номер, то комната №1 станет пустой. Следовательно, в гостиницу 	extbf{МОЖНО} поселить ещё одного постояльца.
ewline
в) Нужно переселять 1го постояльца в $1000001$ый номер, $n$-ного постояльца в $n+10^6$ номер и т.д.
	
\item 	extit{Теорема. Если к множеству, которое эквивалентно множеству натуральных чисел, добавить еще один элемент, получится множество, которое снова эквивалентно множеству натуральных чисел.}
ewline
	extit{Доказательство.} По определению, множества эквивалентны, если кол-во их элементов равны. Следовательно, множество, эквивалентное множеству натуральных чисел имеет бесконечно много элементов. Значит, если прибавить к этому множеству $1$ элемент, то кол-во элементов этого множества не изменится, что и требовалось доказать. $\blacksquare$
	
\item 	extit{Теорема. если к множеству, которое эквивалентно множеству натуральных чисел, добавить конечное множество элементов, получится множество, которое также эквивалентно множеству натуральных чисел.}
ewline
	extit{Доказательство.} По определению, множества эквивалентны, если кол-во их элементов равны. Следовательно, множество, эквивалентное множеству натуральных чисел имеет бесконечно много элементов. Значит, если прибавить к этому множеству конечное множество элементов, то кол-во элементов этого множества не изменится, что и требовалось доказать.$\blacksquare$
\end{enumerate}

Задание 9

Answers

Comments

Comments

Задание 9

Answers

Comments

Comments

Add answer