Задание 6, стр 68

Расстояние между точками А и В и плоскостью равно а и b соответственно, а расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных из этих точек к плоскости, равно с.
a) Найдите расстояние АВ, считая, что точки А и В могут находиться по одну и по разные стороны плоскости.
б) Вычислите расстояние АВ, если а = 7 см, b = 2 см, c = 12 см.

Answers

a)
(1)
В первом случае, когда А и В по одну сторону от плоскости, из рисунка можем заключить, что, по теореме Пифагора AB = c 2 + ( b − a ) 2 .

(2)
Для того чтобы найти длину АВ во втором случае, мы сначала найдем АО и ОВ, затем сложим их. Для начала, допустим, что A 1 C = m .

Так как углы АА1О = ВВ1О = 90, и в то же время, ∠AO A 1 = ∠BO B 1 как вертикальные углы, имеем что Δ A A 1 O ∼ Δ B B 1 O . Значит, можем сказать, что

c − m m = b a

ca − am = bm

ca = am + bm

m = ca b + a .

Отсюда мы можем найти значения АО и ОВ:

AO = a 2 + m 2 = a 2 + ( ca b + a ) 2 = a 2 + c 2 a 2 ( a + b ) 2 = a ⋅ 1 + c 2 ( a + b ) 2 = a ⋅ ( a + b ) 2 + c 2 ( a + b ) 2 = a a + b ⋅ ( a + b ) 2 + c 2

OB = b 2 + ( c − m ) 2 = b 2 + ( c − ca b + a ) 2 = b 2 + ( c ( b + a ) − ca b + a ) 2 = b 2 + ( cb b + a ) 2 = b ⋅ 1 + c 2 ( a + b ) 2 = b ⋅ ( a + b ) 2 + c 2 ( a + b ) 2 = b a + b ⋅ ( a + b ) 2 + c 2

Следовательно, имеем:

AB = AO + OB = a a + b ⋅ ( a + b ) 2 + c 2 + b a + b ⋅ ( a + b ) 2 + c 2 =

= a + b a + b ⋅ ( a + b ) 2 + c 2 = ( a + b ) 2 + c 2 .

b)
Подставляем данные значения a, b, c:
(1)
c 2 + ( b − a ) 2 = 144 + 25 = 13 .
(2)
( a + b ) 2 + c 2 = 81 + 144 = 15 .
User profile picture
2024-06-30 14:48
Comments