Задание 13, стр 13

Question

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item В доказательстве, что число $\sqrt{2}$ является иррациональным числом, вставьте соответствующие слова: 	extbf{четное, сократимая, несократимая.} Закончив доказательство теоремы, обсудите его в классе.
ewline
	extbf{Доказательство.} Докажем, что не существует такого рационального числа, квадрат которого равен 2. Допустим обратное. Пусть существует ...... дробь $\frac{m}{n}(m\in Z, n\in N),$ что $\left(\frac{m}{n}ight)^2 = 2.$ Отсюда $m^2 = 2n^2.$ Т.к. $2n^2$ является ...... числом, то и $m^2$ является четным числом, но тогда $m$ также является четным числом: $m = 2k(k\in N).$ Учтём это в $m^2 = 2n^2,$ получим $4k^2 = 2n^2,$ а отсюда, что $n^2 = 2k^2.$ Это означает, что $n$ ...... число. Отсюда получается, что дробь $\frac{m}{n}$ ......, что противоречило нашему предположению. Таким образом, не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. То есть $\sqrt{2}$ является иррациональным числом.
\item Докажите, что $\sqrt{3}$ - иррациональное число.
\end{enumerate}

Gimli · Accepted Answer

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item 	extbf{Доказательство.} Докажем, что не существует такого рационального числа, квадрат которого равен 2. Допустим обратное. Пусть существует 	extit{	extbf{несократимая}} дробь $\frac{m}{n}(m\in Z, n\in N),$ что $\left(\frac{m}{n}ight)^2 = 2.$ Отсюда $m^2 = 2n^2.$ Т.к. $2n^2$ является 	extbf{	extit{четным}} числом, то и $m^2$ является четным числом, но тогда $m$ также является четным числом: $m = 2k(k\in N).$ Учтём это в $m^2 = 2n^2,$ получим $4k^2 = 2n^2,$ а отсюда, что $n^2 = 2k^2.$ Это означает, что $n$ 	extbf{	extit{четное}} число. Отсюда получается, что дробь $\frac{m}{n}$ 	extbf{	extit{сократимая}}, что противоречило нашему предположению. Таким образом, не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. То есть $\sqrt{2}$ является иррациональным числом.
\item 	extbf{Доказательство.} Докажем, что не существует такого рационального числа, квадрат которого равен 3. Допустим обратное. Пусть существует несократимая дробь $\frac{m}{n}(m\in Z, n\in N),$ что $\left(\frac{m}{n}ight)^2 = 3.$ Отсюда $m^2 = 3n^2.$ Т.к. $3n^2$ делится на 3, то и $m^2$ делится на 3, но тогда $m$ тоже делится на 3: $m = 3k(k\in N).$ Учтём это в $m^2 = 3n^2,$ получим $9k^2 = 2n^2,$ а отсюда, что $n^2 = \frac{9}{2}k^2.$ Это означает, что $n^2$ делится на 9, a это означает, что $n$ делится на 3. Отсюда получается, что дробь $\frac{m}{n}$ сократимая, так как и $m$, и $n$ делятся на 3, что противоречило нашему предположению. Таким образом, не существует рационального числа, квадрат которого равен 3. То есть $\sqrt{3}$ является иррациональным числом.
\end{enumerate}

Задание 13, стр 13

Answers

Comments

Задание 13, стр 13

Answers

Comments

Add answer