Задание 23, стр 27

Question

Сравните:
ewline
1) $a=\sqrt{7}+\sqrt{6}$ и $b=\sqrt{6}+\sqrt{5}$
ewline

2) $a=\frac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}$ и $b=\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}$
ewline
3)  $a=\sqrt{8}-\sqrt{7}$ и $b=\sqrt{7}-\sqrt{6}$
ewline
4) $a=\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ и $b=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$

Gimli · Accepted Answer

\begin{enumerate} \item Т.к. $\sqrt{7}>\sqrt{5}$ (т.к. $7>5$), мы можем заключить, что $\sqrt{6}+\sqrt{7}>\sqrt{6}+\sqrt{5}.$ ewline extbf{Ответ: }${\color{red}{\sqrt{6}+\sqrt{7}>\sqrt{6}+\sqrt{5}.}}$ \item Т.к. $\sqrt{12}>\sqrt{10}$ (т.к. $12>10$), мы можем заключить, что $\sqrt{12}+\sqrt{11}>\sqrt{11}+\sqrt{10}.$ А значит, $\frac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}} <\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}$ (т.к. числители у этих дробей одинаковы, то больше та дробь, у которой знаменатель меньше). ewline extbf{Ответ: }${\color{blue}{\frac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}} <\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}}}$ \item Для того чтобы сравнить эти выражения, умножим оба выражения на $(\sqrt{8}+\sqrt{7})(\sqrt{7}+\sqrt{6}):$ $$(\sqrt{8}-\sqrt{7})(\sqrt{8}+\sqrt{7})(\sqrt{7}+\sqrt{6})\quad \bigcirc \quad (\sqrt{7}-\sqrt{6})(\sqrt{8}+\sqrt{7})(\sqrt{7}+\sqrt{6}).$$ Используя одну из формул сокращенного умножения ($(a-b)(a+b)=a^2-b^2$) получаем: $$(8-7)(\sqrt{7}+\sqrt{6})\quad \bigcirc \quad (7-6)(\sqrt{8}+\sqrt{7});$$ $$\sqrt{7}+\sqrt{6}\quad \bigcirc \quad \sqrt{8}+\sqrt{7}.$$ Т.к. $6<8$, мы имеем $\sqrt{6}<\sqrt{8},$ а значит, $\sqrt{7}+\sqrt{6} < \sqrt{8}+\sqrt{7}.$ Таким образом, можно заключить, что $\sqrt{8}-\sqrt{7} < \sqrt{7}-\sqrt{6}.$ ewline extbf{Ответ: }${\color{orange}{\sqrt{8}-\sqrt{7} < \sqrt{7}-\sqrt{6}.}}$ \item Сравнить $\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ и $\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ это все равно что сравнить $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{4}}$ и $\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{3}}$. Для этого нужно сравнить знаменатели: $\sqrt{5}-\sqrt{4}$ и $\sqrt{4}-\sqrt{3}$. ewline Для того чтобы сравнить эти выражения, умножим оба выражения на $(\sqrt{5}+\sqrt{4})(\sqrt{4}+\sqrt{3}):$ $$(\sqrt{5}-\sqrt{4})(\sqrt{5}+\sqrt{4})(\sqrt{4}+\sqrt{3})\quad \bigcirc \quad (\sqrt{4}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{4})(\sqrt{4}+\sqrt{3}).$$ Используя одну из формул сокращенного умножения ($(a-b)(a+b)=a^2-b^2$) получаем: $$(5-4)(\sqrt{4}+\sqrt{3})\quad \bigcirc \quad (4-3)(\sqrt{5}+\sqrt{4});$$ $$\sqrt{4}+\sqrt{3}\quad \bigcirc \quad \sqrt{5}+\sqrt{4}.$$ Т.к. $3<5$, мы имеем $\sqrt{3}<\sqrt{5},$ а значит, $\sqrt{4}+\sqrt{3}<\sqrt{5}+\sqrt{4}.$ Таким образом, можно заключить, что $\sqrt{5}-\sqrt{4} < \sqrt{4}-\sqrt{3}.$ ewline Т.к. $\sqrt{5}-\sqrt{4} < \sqrt{4}-\sqrt{3},$ мы приходим к заключению, что $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{4}}>\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{3}}$ (т.к. числители у этих дробей одинаковы - $1$, то больше та дробь, у которой знаменатель меньше), а значит, $\frac{1}{\sqrt{5}-2}>\frac{1}{2-\sqrt{3}}$. ewline extbf{Ответ: }${\color{brown}{\frac{1}{\sqrt{5}-2}>\frac{1}{2-\sqrt{3}} }}$ \end{enumerate}

Задание 23, стр 27

Answers

Comments

Задание 23, стр 27

Answers

Comments

Add answer