Задание 18, стр 98

Question

Упростите выражения, разпожив числитель и знаменатель на множители.
ewline
а) $\frac{x^2-7 x+12}{4 x^2-12 x}$
ewline
b) $\frac{x^2-x-6}{2 x-6}$
ewline
c) $\frac{x^2-2 x-3}{x^2+x-12}$
ewline
d) $\frac{2 x^2+5 x-3}{4 x-2}$
ewline
e) $\frac{3 x^2-x-2}{x-1} \quad$
ewline f) $\frac{4 x^2+5 x-6}{x^2-2 x-8}$

Gimli · Accepted Answer

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $x^2-7 x+12=0$
$$
\begin{aligned}
& D=b^2-4 a c=49-12 \cdot 4=49-48=1 . \
& x_1=\frac{7+1}{2}=\frac{8}{2}=4 ; \quad x_2=\frac{7-1}{2}=\frac{6}{2}=3 . \
&  	ext { Значит, } x^2-7 x+12=(x-4)(x-3) .
\end{aligned}
$$
Отсюда:
$$
\frac{x^2-7 x+12}{4 x^2-12 x}=\frac{(x-4)(x-3)}{4 x(x-3)}=\frac{x-4}{4 x} 	ext {. }
$$
\item $x^2-x-6=0$
$$
\begin{aligned}
& D=b^2-4ac = 1+6 \cdot 4=1+24=25=5^2 \
& x_1=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3 ; x_2=\frac{-b- \sqrt{D}}{2 a}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2 . \
&  	ext {Значит, } x^2-x-6=(x-3)(x+2) . 
\end{aligned}
$$
Отсюда:
$$ \frac{x^2-x-6}{2 x-6}=\frac{(x-3)(x+2)}{2(x-3)}=\frac{x+2}{2} .$$
\item $x^2-2 x-3=0$
$$
\begin{aligned}
& D=b^2-4 a c=4+12=16=4^2 \
& x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2 a}=\frac{2+4}{2}=3 ; \quad x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2 a}=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}{2}=-1 .\
& 	ext { Значит,  } x^2-2 x-3=(x-3)(x+1) . 
\end{aligned}
$$
$x^2+x-12=0$
$$
\begin{aligned}
& D=b^2=4 a c=1+48=49=7^2 \
& x_1=\frac{-1+7}{2}=\frac{6}{2}=3 ; x_2=\frac{-b-\sqrt{2}}{2 a}=\frac{-1-7}{2}=\frac{-8}{2}=-4 . \
&  	ext {Значит, } x^2+x-12=(x-3)(x+4) . 
\end{aligned}
$$
Отсюда,
$$\frac{x^2-2 x-3}{x^2+x-12}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-3)(x+4)}=\frac{x+1}{x+4} .$$
\item $2 x^2+5 x-3=0$
$$
\begin{aligned}
& D=b^2-4 a c=5^2-4 \cdot 2 \cdot(-3)=25+24=49=7^2 \
& x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2 a}=\frac{-5+7}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} ; x_2=\frac{-6-\sqrt{D}}{2 a}=\frac{-5-7}{4}=\frac{12}{4}=-3 . \
& 	ext {Значит, } 2 x^2+5 x-3=2\left(x-\frac{1}{2}ight)(x+3)=(2 x-1)(x+3) . 
\end{aligned}
$$
Отсюда: 
$$ \frac{2 x^2+5 x-3}{4 x-2}=\frac{(2 x-1)(x+3)}{2(2 x-1)}=\frac{x+3}{2} .$$
\item $3 x^2-x-2=0$
$$
\begin{aligned}
& D=b^2-4 a c=1^2-4 \cdot 3 \cdot(-2)=1+24=25=5^2 . \
& x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2 a}=\frac{1+5}{6}=1 ; \quad x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2 a}=\frac{15}{6}=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3} \
&  	ext {Значит,  } 3 x^2-x-2=3(x-1)\left(x+\frac{2}{3}ight)=(x-1)(3 x+2).
\end{aligned}
$$
Отсюда:
$$\frac{3 x^2-x-2}{x-1}=\frac{(x-1)(3 x+2)}{x-1}=3 x+2.$$
\item $4 x^2+5 x-6=0$
$$D=b^2-4 a c=5^2-4 \cdot 4 \cdot(-6)=25+96=121=11^2$$
$$x_1=\frac{-5+11}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4} ; \quad x=\frac{-5-11}{8}=\frac{-16}{8}=-2$$
$$	ext{3начит}, 4 x^2+5 x-6=4\left(x-\frac{3}{4}ight)(x+2)=(4 x-3)(x+2).$$
$x^2-2 x-8=0$
$$D=b^2-4 a c=2^2-4 \cdot 1 \cdot(-8)=4+32=36=6^2$$
$$x_1=\frac{-b+\sqrt{2}}{2 a}=\frac{2+6}{2}=4 ; \quad x=\frac{-6-\sqrt{D}}{2 a}=\frac{2-6}{2}=\frac{-4}{2}=-2.$$
$$	ext{Значит}, x^2-2 x-8=(x-4)(x+2)$$
Отсюда:
$$\frac{4 x^2+5 x-6}{x^2-2 x-8}=\frac{(4 x-3)(x+2)}{(x-4)(x+2)}=\frac{4 x-3}{x-4}.$$
\end{enumerate}

Задание 18, стр 98

Answers

Comments

Задание 18, стр 98

Answers

Comments

Add answer