Задание 7, стр 124

Question

Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, а основания равны 8 см и 12 см. Найдите площадь трапеции.

Gimli · Accepted Answer

Начертим трапецию. Точка О это точка пересечения диагоналей, ВК это высота.
\begin{figure}[H]\centering
\begin{tikzpicture}

\draw[-] (1.3, 0) -- (2,2) -- (4,2) -- (4.7,0) -- (1.3,0);

ode at (1.2, -0.2) {$A$};

ode at (2, 2.2) {$B$};

ode at (4, 2.2){$C$};

ode at (4.7, -0.2) {$D$};
\draw[-] (2,2) -- (2,0) ;
\draw[-] (1.3,0) -- (4,2) ;
\draw[-] (4.7,0) -- (2,2);
\draw[circle] (3,0);
\fill (3,1.25) circle[radius=1.5pt];

ode at (3, 1.5) {$O$};
\fill (2,0) circle[radius=1.5pt];

ode at (2, -0.2) {$K$};

ode at (3,2.3) {$8$};

ode at (3, -0.3) {$12$};

\end{tikzpicture}
\end{figure}
Так как ВО = ОС и угол ВОС прямой, то треугольник ВОС прямой и равнобедренный. Значит, так как в прямых равнобедренных треугольниках катет в $\sqrt{2}$ раз меньше гипотенузы, то $BO = OC = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}.$ Анологично, $AO = OD = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}.$
ewline
Сейчас рассмотрим треугольник $BOA$. Так как он прямоугольный, по теореме Пифагора 
$$AB = \sqrt{BO^2+AO^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2} = \sqrt{32+72}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}.$$
Теперь находим АК, используя то, что трапеция равнобедренная:
$$AK = (12-8):2=4:2=2.$$
Так как треугольник АВК прямоугольный, имеем:
$$AK = \sqrt{AB^2-AK^2} = \sqrt{(2\sqrt{26})^2-2^2}=\sqrt{104-4}=10.$$
Теперь находим площадь по формуле:
$$S = \frac{AD + BC}{2}\cdot AK = \frac{8+12}{2}\cdot 10 = 10\cdot 10=100.$$
	extbf{Ответ: 100 см$^2$}

Задание 7, стр 124

Answers

Comments

Задание 7, стр 124

Answers

Comments

Add answer