Задание 8, стр 128

Question

1) Найдите площадь равностороннего треугольника с высотой $h$.
ewline
2) Найдите катеты прямоугольного треугольника гипотенуза которого равна 13см а площадь 30см2
ewline
3) Найдите площадь остроугольного треугольника с высотой 7см если высота делит противолежащую сторону на отрезки 3см и 9см

Gimli · Accepted Answer

\begin{enumerate}
\item Пусть Н - точка пересечения высоты с основанием. В прямоугольном треугольнике АВН гипотенуза АВ равна $2\cdot АН$ (т.к. высота разделила основание на две части). Пусть АН = х. Тогда по Пифагору АВ$^2$ - АН$^2$ = $h^2$. Значит,
$$3AH^2 = h^2  \Rightarrow AH = \frac{h\sqrt{3}}{3}. \Rightarrow AC = \frac{2h\sqrt{3}}{3}.$$

$$S_{abc} = (\frac{1}{2})\cdot AC\cdot BH = \frac{1}{2}·\frac{2h\sqrt{3}}{3}\cdot h = (\frac{2\sqrt{3}}{3})\cdot h^2.$$
\item Формула площади для прямоугольного треугольника:
$$S = \frac{ab}{2}$$
где $a, b$ - катеты. Получаем:
$$\frac{ab}{2}=30\Rightarrow ab = 30\cdot 2\Rightarrow b= \frac{30}{a}.$$
По теореме Пифагора имеем, что $a^2 +b^2 =13^2$:
$$a^2 +\frac{3600}{a^2} =169 \ (	ext{умножаем на $a^2$})$$
$$a^4 +3600=169a^2$$
$$a^4 -169a^2+3600=0$$
Делаем замену $t=a^2$. Получаем
$$t^2 - 169 t + 3600 = 0.$$
$$D = b^2-4ac=28561-14400=14161.$$
$$t_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{169 + \sqrt{14161}}{2} = \frac{169+119}{2}= 144;$$ $$t_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{169 - \sqrt{14161}}{2} = \frac{169-119}{2}= 25.$$
Значит, $t$ это 25 или 144.
$$t=a^2 =25 \Rightarrow a=5;\ b=\frac{60}{5}=12.$$
$$t=a^2 =144 \Rightarrow a=12; \ b=\frac{60}{12}=5.$$
В обоих случаях получаем, что катеты равны 5 и 12 см.
\item Из условия вытекает, что сторона, к которой проведена высота, равна 3+9=12см. Значит, площадь равна
$$S = \frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 12 = 42	ext{см}^2.$$
\end{enumerate}

Задание 8, стр 128

Answers

Comments

Задание 8, стр 128

Answers

Comments

Add answer