Задание 12, стр 42

Введём в рисунок новые линии и обозначения. Имеем:

Так как касательная всегда перпендикулярна радиусу, имеем $\mathit{\angle HAO}=\mathit{\angle HBP}=90^{\text{∘}}$. Так как $\mathit{\angle AHO}=\mathit{\angle PHB}$, $\mathit{\angle HAO}=\mathit{\angle HBP}$, треугольники $\mathrm{\Delta }\mathit{AHO},\mathrm{\Delta }\mathit{HPB}$подобны по первому признаку подобия треугольников. Из подобия следует, что:

Решаем полученное уравнение используя основное свойство пропорции:

Чтобы найти АВ, мы должны сложить АН и НВ:

1.

(нахождение АН) По Теореме Пифагора, имеем: $$\mathit{AH}=\sqrt{O{H}^2-A{O}^2}=\sqrt{{(15+9-4)}^2-15^2}=\sqrt{175}=5\sqrt{7}.$$

2.

(нахождение НВ) По Теореме Пифагора, имеем: $$\mathit{HB}=\sqrt{H{P}^2-B{P}^2}=\sqrt{{(12+4)}^2-12^2}=\sqrt{112}=4\sqrt{7}.$$

Отсюда, имеем:

Ответ: $\mathrm{AB}=9\sqrt{7}$