Задание 15, стр 36

Question

1) Начертите неравные хорды окружности и их
серединные перпендикуляры. Какая из хорд ближе к центру: большая
или меньшая?
ewline
2) Начертите две окружности с разными радиусами. В каждой окружности проведите равные хорды и покажите центральные углы, соответствующие минорным дугам этих хорд. Какой из центральных углов
больше? Изложите свою мысль.

Gimli · Accepted Answer

\begin{enumerate}
\item 
\begin{figure}[H]\centering
\begin{tikzpicture}
\draw[color=violet, thick](-1,0) circle (1.5);
\draw[color=red, ultra thick](-2.5,0)--(0,1.093);
\draw[color=blue, ultra thick](-1.427,-1.438)--(0.345,-0.664);
\draw[color=green!60!black, ultra thick] (-1.25,0.5465)--(-0.541,-1.051);

ode at (-1.2,0) {$O$};
\filldraw[color=black, very thick] (-1,0) circle(0.05);
\end{tikzpicture}
\end{figure}
Из рисунка видно, что бОльшая хорда ближе к центру.
\item Нарисуем все так, как изложено в условии:
\begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        %small circle
        \draw[color=violet, thick] (-1,0) circle (1);
        \draw[color=red, ultra thick] (-1.9,0.4)--(-1.05,1);
        \draw[color=blue, ultra thick] (-1.9,0.4)--(-1,0);
        \draw[color=blue,ultra thick] (-1.05,1)--(-1,0);
        \filldraw[color=black, thick] (-1,0) circle (0.03);
        
ode at (-1,-0.2) {$O$};
        
ode at (-2.1,0.6){$H$};
        
ode at (-1.05,1.2) {$E$};
        %big circle 
        \draw[color=green!60!black, thick] (3,0) circle (2);
        \draw[color=red, ultra thick] (1.7,1.5)--(2.65,1.95);
        \draw[color=blue, ultra thick] (1.7,1.5)--(3,0);
        \draw[color=blue,ultra thick] (2.65,1.95)--(3,0);
        \filldraw[color=black, thick] (3,0) circle (0.05);
        
ode at (3,-0.2) {$O_1$};
        
ode at (1.5,1.56){$H_1$};
        
ode at (2.65,2.1) {$E_1$};
    \end{tikzpicture}
\end{figure}
Тут $HE \cong H_1E_1$. так как наша задача узнать, какой из углов $HOE$ и $H_1O_1E_1$ больше, наложим друг на друга треугольники $HOE$ и $H_1O_1E_1$ и проведём высоту $O_1M$:
\begin{figure}
    \centering
    \begin{tikzpicture}
    %HOE
        \draw[-,red,ultra thick] (-0.5,0)--(0.5,0);
        \draw[-,blue,thick] (-0.5,0)--(0,2);
        \draw[-,blue,thick] (-0.5,0)--(0,1);
        \draw[-,blue,thick] (0.5,0)--(0,2);
        
ode at (0,-0.2) {$M$};
        \draw[-,blue,thick] (0.5,0)--(0,1);
        \draw[-,orange,thick] (0,2)--(0,0);
        
ode at (-0.5,-0.2){$H$};
        
ode at (0.5,-0.2){$E$};
        
ode at (0,1.2){$O$};
        
ode at (0,2.2){$O_1$};
    \end{tikzpicture}
\end{figure}
Высота делит каждый треугольник на два прямоугольных треугольника.Таким образом, наша задача сравнить углы $HOE$ и $H_1O_1E$ сводиться к сравнению углов $HOM$ и $HO_1M.$ Найдём синусы этих углов:
$$\sin \angle HOM =\frac{HM}{HO};\quad \sin \angle HO_1M=\frac{HM}{HO_1}.$$
Числитель у синусов одинаковый. Так как $HO>H_1O_1$ (так как радиус первой окружности меньше окружности второго), имеем:
$$\sin \angle HOM<\sin \angle HO_1M,	ext{ следовательно, } \angle HOM < \angle HO_1M.$$
Так как $O_1M$ - высота в 	extit{равнобедренном} треугольнике, $O_1M$ является также и биссектрисой. Следовательно,
$$HOE=2\cdot HOM, \ HO_1E=2\cdot HO_1E, \ 	ext{следовательно, } HOE<HO_1E.$$
Следовательно, 	extbf{центральный угол в меньшей окружности больше.}
\end{enumerate}

Задание 15, стр 36

Answers

Comments

Задание 15, стр 36

Answers

Comments

Add answer