Задание 7, стр 38

Question

Окружность разделена четырьмя точками в отношении 3 : 4 : 5 : 6. Найдите углы четырехугольника с вершинами в этих точках.

Gimli · Accepted Answer

Пусть О - центр окружности. Так как отношение дуг равно 3 : 4 : 5 : 6, имеем $\angle HOE=3\alpha, \ \angle HOK = 4\alpha, \ \angle KOF = 5\alpha, \ \angle EOF = 6\alpha.$
\begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \draw[color=violet,thick](-1,0) circle(2);
        \draw[color=blue, ultra thick] (-2.3,1.52)--(-0.5,1.94);
        \draw[color=blue, ultra thick] (-0.5,1.94) -- (0.4,-1.428);
        \draw[color=blue, ultra thick] (0.4,-1.428) -- (-2.5,-1.323);
        \draw[color=blue, ultra thick] (-2.3,1.52) -- (-2.5,-1.323); 
        \draw[color=red, ultra thick] (-1,0) -- (-2.3,1.52);
        \draw[color=red, ultra thick] (-1,0) -- (-0.5,1.94);
        \draw[color=red, ultra thick] (-1,0) -- (0.4,-1.428);
        \draw[color=red, ultra thick] (-1,0) -- (-2.5,-1.323);   
        \filldraw[color=black, very thick] (-1,0) circle (0.05);
        
ode at (-2.3,1.7) {H};
        
ode at (-0.5, 2.1) {E};
        
ode at (0.6,-1.6) {F};
        
ode at (-2.7, -1.5) {K};
        
ode at (-1.5,0.1) {$4\alpha$};
        
ode at (-3.2,0.1) {$4\alpha$};
        
ode at (-1.1, 0.5) {$3 \alpha$};
        
ode at (-1.3, 2.3) {$3 \alpha$};
        
ode at (-0.6, 0.1) {$6 \alpha$};
        
ode at (1.3, 0) {$6 \alpha$};
        
ode at (-1,-0.5) {$5\alpha$};
        
ode at (-1,-2.3) {$5\alpha$};
        %
ode at (-1,0) {O};
    \end{tikzpicture}
\end{figure}
Так как сумма углов в окружности равно 360 градусов, имеем:
$$3\alpha + 4\alpha + 5\alpha + 6\alpha = 360^{\circ}.$$
$$18\alpha =360$$
$$\alpha=20^{\circ}.$$
Отсюда:
$$\angle HOE=60^{\circ}, \ \angle HOK = 80^{\circ}, \ \angle KOF = 100^{\circ}, \ \angle FOE = 120^{\circ}.$$
Рассмотрим треугольник НОЕ. Так как угол НОЕ равен 60 градусов и треугольник равнобедренный (так как другие две стороны этого треугольника - радиусы), имеем:
$$\angle HEO \ \cong \ \angle EHO = \frac{180-\angle HOE}{2} = \frac{180-60}{2}=60^{\circ}.$$
Анологично, из треугольников НОК, КОF и ЕОF имеем:
$$\angle HKO \ \cong \ \angle KHO = \frac{180-\angle HOK}{2}=\frac{180-80}{2}=50^{\circ}.$$
$$\angle FKO \ \cong \ \angle KFO = \frac{180-\angle KOF}{2}=\frac{180-100}{2}=40^{\circ}.$$
$$\angle EFO \ \cong \ \angle FEO = \frac{180-\angle EOF}{2}=\frac{180-120}{2}=30^{\circ}.$$
Отсюда мы можем найти углы треугольника $HEFK$:
$$\angle EHK = \angle EHO+\angle KHO = 60^{\circ}+50^{\circ}=110^{\circ}.$$
$$\angle HKF = \angle HKO + \angle FKO = 50^{\circ}+40^{\circ}=90^{\circ}.$$
$$\angle KFE = \angle KFO + \angle EFO = 40^{\circ}+30^{\circ}=70^{\circ}.$$
$$\angle FEH = \angle FEO+\angle EHO = 30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}.$$
	extbf{Ответ: 110, 90, 70, 90 градусов.}

Задание 7, стр 38

Answers

Comments

Задание 7, стр 38

Answers

Comments

Add answer