Exercise 6.A.7

Answers

Proof. The forward direction is obvious, just choose $a = 1$ and $b = 0$ to get the desired result.

Conversely, suppose $| | u | | = | | v | |$ . Then

\begin{aligned} | | au + bv | | & = ⟨ au + bv, au + bv ⟩ \\ = ⟨ au, au ⟩ + ⟨ au, bv ⟩ + ⟨ bv, au ⟩ + ⟨ bv, bv ⟩ \\ = | a |^{2} | | u | |^{2} + ab ⟨ u, v ⟩ + ab ⟨ v, u ⟩ + | b |^{2} | | v | |^{2} \\ = | a |^{2} | | v | |^{2} + ab ⟨ u, v ⟩ + ab ⟨ v, u ⟩ + | b |^{2} | | u | |^{2} \\ = ⟨ av, av ⟩ + ⟨ bu, av ⟩ + ⟨ av, bu ⟩ + ⟨ bu, bu ⟩ \\ = ⟨ bu + av, bu + av ⟩ \\ = | | bu + av | |^{2} \end{aligned}

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celiopassos

2017-10-06 00:00