Exercise 8.5.3

Derive the formulas

a m = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ ( mx ) dx    and     b m = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ ( mx ) dx

for all m ≥ 1 .

Answers

∫ − π π f ( x ) cos ⁡ ( mx ) dx = ∫ − π π [ a 0 cos ⁡ ( mx ) + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ ( nx ) cos ⁡ ( mx ) + b n sin ⁡ ( nx ) cos ⁡ ( mx ) ] dx = ∑ n = 1 ∞ ∫ − π π [ a n cos ⁡ ( nx ) cos ⁡ ( mx ) + b n sin ⁡ ( nx ) cos ⁡ ( mx ) ] dx = ∫ − π π a m cos ⁡ 2 ( mx ) = a m π
∫ − π π f ( x ) sin ⁡ ( mx ) dx = ∫ − π π [ a 0 sin ⁡ ( mx ) + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ ( nx ) sin ⁡ ( mx ) + b n sin ⁡ ( nx ) sin ⁡ ( mx ) ] dx = ∑ n = 1 ∞ ∫ − π π [ a n cos ⁡ ( nx ) sin ⁡ ( mx ) + b n sin ⁡ ( nx ) sin ⁡ ( mx ) ] dx = ∫ − π π b m sin ⁡ 2 ( mx ) = b m π
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2022-01-27 00:00
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